Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $x$. Cạnh bên $SA=x\sqrt{6}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính theo $x$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $SABCD$.
A. $8\pi {{x}^{2}}$.
B. ${{x}^{2}}\sqrt{2}$.
C. $2\pi {{x}^{2}}$.
D. $2{{x}^{2}}$.
A. $8\pi {{x}^{2}}$.
B. ${{x}^{2}}\sqrt{2}$.
C. $2\pi {{x}^{2}}$.
D. $2{{x}^{2}}$.
Ta có:$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ BC\bot \left(SAB \right) $ $ \Rightarrow $ $ BC\bot SB$.
Chứng minh tương tự ta được $CD\bot SD$.
Do $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow $ $SA\bot AC$.
Suy ra: Ba điểm $A$, $B$, $D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu là ngoại tiếp khối chóp $SABCD$ là
$R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{(x\sqrt{6})}^{2}}+{{(x\sqrt{2})}^{2}}}=x\sqrt{2}$.
Khi đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $SABCD$ là $8\pi {{x}^{2}}$.
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow $ $ BC\bot \left(SAB \right) $ $ \Rightarrow $ $ BC\bot SB$.
Chứng minh tương tự ta được $CD\bot SD$.
Do $SA\bot \left( ABCD \right)$ $\Rightarrow $ $SA\bot AC$.
Suy ra: Ba điểm $A$, $B$, $D$ cùng nhìn $SC$ dưới một góc vuông.
Vậy bán kính mặt cầu là ngoại tiếp khối chóp $SABCD$ là
$R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{(x\sqrt{6})}^{2}}+{{(x\sqrt{2})}^{2}}}=x\sqrt{2}$.
Khi đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $SABCD$ là $8\pi {{x}^{2}}$.
Đáp án A.