Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình vuông cạnh bằng ${a}$. Tam giác ${SAB}$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${AB,SD}$.
A. ${a}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{21}}{7}}$.
C. ${\dfrac{a\sqrt{7}}{2}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{21}}{3}.}$
Gọi H là trung điểm của $SA=SH\bot AB.$
Ta có$:\left. \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Kẻ $HM\bot DC\left( M\in DC \right);HK\bot SM\left( K\in SM \right).$
Vi $AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right).$
Nên $d\left( AB;SD \right)=d\left( H;SCD \right)=HK.$
Có: $HM=a;SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác SHM có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{7}{3}{{a}^{2}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
A. ${a}$.
B. ${\dfrac{a\sqrt{21}}{7}}$.
C. ${\dfrac{a\sqrt{7}}{2}}$.
D. ${\dfrac{a\sqrt{21}}{3}.}$
Gọi H là trung điểm của $SA=SH\bot AB.$
Ta có$:\left. \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right\}\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$
Kẻ $HM\bot DC\left( M\in DC \right);HK\bot SM\left( K\in SM \right).$
Vi $AB//CD\Rightarrow AB//\left( SCD \right).$
Nên $d\left( AB;SD \right)=d\left( H;SCD \right)=HK.$
Có: $HM=a;SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
Xét tam giác SHM có
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{7}{3}{{a}^{2}}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Đáp án B.