Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{5}.$ Gọi $M$ là trung điểm của $SA$ và $CD$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $SC$ bằng:
A. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$
D. $\dfrac{a}{3}$
A. $\dfrac{2a\sqrt{5}}{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{5}}{3}$
C. $\dfrac{a\sqrt{5}}{6}$
D. $\dfrac{a}{3}$
Phương pháp:
- Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SD,AB$, chứng minh $d\left( SC;MN \right)=d\left( S;\left( MPNQ \right) \right).$
- Đổi $d\left( S;\left( MPNQ \right) \right)$ sang $d\left( A;\left( MPNQ \right) \right).$
- Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $AH\bot MQ\left( H\in MQ \right),$ chứng minh $AH\bot \left( MPNQ \right).$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:
Gọi $P$ là trung điểm của $SD$ ta có $NP//SC\Rightarrow SC//\left( MNP \right)\supset MN.$
$\Rightarrow d\left( MN;SC \right)=d\left( SC;\left( MNP \right) \right)=d\left( S;\left( MNP \right) \right).$
Gọi $Q$ là trung điểm của $AB\Rightarrow MP//NQ\Rightarrow \left( MNP \right)\equiv \left( MPNQ \right)$ nên $d\left( S;\left( MNP \right) \right)=d\left( S;\left( MPNQ \right) \right).$
Ta có: $SA\cap \left( MPNQ \right)=M\Rightarrow \dfrac{d\left( S;\left( MPNQ \right) \right)}{d\left( A;\left( MPNQ \right) \right)}=\dfrac{MS}{MA}=1\Rightarrow d\left( S;\left( MPNQ \right) \right)=d\left( A;\left( MPNQ \right) \right).$
Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $AH\bot MQ\left( H\in MQ \right)$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& QN\bot AB \\
& QN\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow QN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow QN\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot QN \\
& AH\bot QM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( MPNQ \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( MPNQ \right) \right)=AH.$
Ta có $AQ=\dfrac{1}{2}AB=a,AM=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AMQ$ ta có: $AH=\dfrac{AM.AQ}{\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{Q}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{3}.$
Vậy $d\left( SC;MN \right)=\dfrac{a\sqrt{5}}{3}.$
- Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SD,AB$, chứng minh $d\left( SC;MN \right)=d\left( S;\left( MPNQ \right) \right).$
- Đổi $d\left( S;\left( MPNQ \right) \right)$ sang $d\left( A;\left( MPNQ \right) \right).$
- Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $AH\bot MQ\left( H\in MQ \right),$ chứng minh $AH\bot \left( MPNQ \right).$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Cách giải:
Gọi $P$ là trung điểm của $SD$ ta có $NP//SC\Rightarrow SC//\left( MNP \right)\supset MN.$
$\Rightarrow d\left( MN;SC \right)=d\left( SC;\left( MNP \right) \right)=d\left( S;\left( MNP \right) \right).$
Gọi $Q$ là trung điểm của $AB\Rightarrow MP//NQ\Rightarrow \left( MNP \right)\equiv \left( MPNQ \right)$ nên $d\left( S;\left( MNP \right) \right)=d\left( S;\left( MPNQ \right) \right).$
Ta có: $SA\cap \left( MPNQ \right)=M\Rightarrow \dfrac{d\left( S;\left( MPNQ \right) \right)}{d\left( A;\left( MPNQ \right) \right)}=\dfrac{MS}{MA}=1\Rightarrow d\left( S;\left( MPNQ \right) \right)=d\left( A;\left( MPNQ \right) \right).$
Trong $\left( SAB \right)$ kẻ $AH\bot MQ\left( H\in MQ \right)$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& QN\bot AB \\
& QN\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow QN\bot \left( SAB \right)\Rightarrow QN\bot AH$
$\left\{ \begin{aligned}
& AH\bot QN \\
& AH\bot QM \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AH\bot \left( MPNQ \right)$
$\Rightarrow d\left( A;\left( MPNQ \right) \right)=AH.$
Ta có $AQ=\dfrac{1}{2}AB=a,AM=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AMQ$ ta có: $AH=\dfrac{AM.AQ}{\sqrt{A{{M}^{2}}+A{{Q}^{2}}}}=\dfrac{a.\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{3}.$
Vậy $d\left( SC;MN \right)=\dfrac{a\sqrt{5}}{3}.$
Đáp án B.