Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2,SA=2$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left(ABCD\right)$. Gọi $M,N$ là hai điểm...

Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $BD$ với $CM$ và $CN.$ Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD.$
Theo giả thiết, ta có $BD\mathrm{\perp }\left(SAC\right).$
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SC.$
$\Rightarrow SC\mathrm{\perp }\left(HEF\right).$
Vì $\left(SMC\right)\mathrm{\perp }\left(SNC\right)$ nên $HE\mathrm{\perp }HF.$
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }HEF$ vuông tại $H$ có chiều cao $OH.$
$\Rightarrow OE.OF=O{H}^2.$
Trong đó: $OH=OC.\sin \widehat{SCA}=OC.{\displaystyle \frac{SA}{SC}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{6}}}\Rightarrow OE.OF={\displaystyle \frac{2^2}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\left(1\right).$
Đặt $AM=x,(x>0),AN=y,(y>0).$
Xét $\mathrm{\Delta }ABC,$ gọi $K$ là trung điểm của $AM.$

Khi đó: $OK//CM\Rightarrow {\displaystyle \frac{BE}{OE}}={\displaystyle \frac{BM}{MK}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{OB-OE}{OE}}={\displaystyle \frac{2-x}{{\displaystyle \frac{x}{2}}}}={\displaystyle \frac{2(2-x)}{x}}$
$\Rightarrow {\displaystyle \frac{OB}{OE}}={\displaystyle \frac{4-x}{x}}\Rightarrow OE={\displaystyle \frac{2x\sqrt{2}}{2(4-x)}}.$
Chứng minh tương tự, ta có: $OF={\displaystyle \frac{2y\sqrt{2}}{2(4-y)}}.$
Từ $\left(1\right)$ suy ra ${\displaystyle \frac{4xy}{2(4-x)(4-y)}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\iff 3xy=(4-x)(4-y)\iff (x+2)(y+2)=12\left(2\right)$
Ta lại có: $S_{AMCN}=S_{AMC}+S_{ANC}={\displaystyle \frac{1}{2}}AC.AM.\sin {45}^0+{\displaystyle \frac{1}{2}}AC.AM.\sin {45}^0=(x+y).$
$V_{S.AMCN}={\displaystyle \frac{1}{3}}SA.(x+y)={\displaystyle \frac{2}{3}}(x+y).$
Từ $\left(2\right)$ suy ra $V_{S.AMCN}={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-2+{\displaystyle \frac{12}{x+2}}).$
Từ $\left(2\right)$ suy ra $y={\displaystyle \frac{12}{x+2}}-2.$
Vì $N$ thuộc cạnh $AD$ nên $y\le 2\Rightarrow {\displaystyle \frac{12}{x+2}}-2\le 2\iff x\ge 1\Rightarrow x,y\in [1;2].$
Xét hàm số: $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}(x-2+{\displaystyle \frac{12}{x+2}})$ với $x\in [1;2].$
Ta có: $f^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}(1-{\displaystyle \frac{12}{{(x+2)}^2}})={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{x^2+4x-8}{{(x+2)}^2}}.$
$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x^2+4x-8=0\iff x=2(\sqrt{3}-1).$
Ta lại có: $f\left(1\right)=f\left(2\right)=2,f\left(2(\sqrt{3}-1)\right)={\displaystyle \frac{8(\sqrt{3}-1)}{3}}.$
$\Rightarrow$ Giá trị lớn nhất của $V_{S.AMCN}=2$ khi $x=1,y=2$ hoặc $x=2,y=1.$
$\Rightarrow T={\displaystyle \frac{1}{A{M}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{A{N}^2}}={\displaystyle \frac{4}{2^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2^2}}={\displaystyle \frac{5}{4}}.$