Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2,SA=2$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right)$. Gọi $M,N$ là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $AB,AD$ sao cho mặt phẳng $\left( SMC \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( SNC \right).$ Tính tổng $T=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}$ khi thể tích khối chóp $S.AMCN$ đạt giá trị lớn nhất.
A. $T=2.$
B. $T=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}.$
C. $T=\dfrac{5}{4}.$
D. $T=\dfrac{13}{9}.$
Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $BD$ với $CM$ và $CN.$ Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD.$
Theo giả thiết, ta có $BD\bot \left( SAC \right).$
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SC.$
$\Rightarrow SC\bot \left( HEF \right).$
Vì $\left( SMC \right)\bot \left( SNC \right)$ nên $HE\bot HF.$
$\Rightarrow \Delta HEF$ vuông tại $H$ có chiều cao $OH.$
$\Rightarrow OE.OF=O{{H}^{2}}.$
Trong đó: $OH=OC.\sin \widehat{SCA}=OC.\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}\Rightarrow OE.OF=\dfrac{{{2}^{2}}}{6}=\dfrac{2}{3}\left( 1 \right).$
Đặt $AM=x,\left( x>0 \right),AN=y,\left( y>0 \right).$
Xét $\Delta ABC,$ gọi $K$ là trung điểm của $AM.$
Khi đó: $OK//CM\Rightarrow \dfrac{BE}{OE}=\dfrac{BM}{MK}\Rightarrow \dfrac{OB-OE}{OE}=\dfrac{2-x}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{2\left( 2-x \right)}{x}$
$\Rightarrow \dfrac{OB}{OE}=\dfrac{4-x}{x}\Rightarrow OE=\dfrac{2x\sqrt{2}}{2\left( 4-x \right)}.$
Chứng minh tương tự, ta có: $OF=\dfrac{2y\sqrt{2}}{2\left( 4-y \right)}.$
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $\dfrac{4xy}{2\left( 4-x \right)\left( 4-y \right)}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3xy=\left( 4-x \right)\left( 4-y \right)\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=12\left( 2 \right)$
Ta lại có: ${{S}_{AMCN}}={{S}_{AMC}}+{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}AC.AM.\sin {{45}^{0}}+\dfrac{1}{2}AC.AM.\sin {{45}^{0}}=\left( x+y \right).$
${{V}_{S.AMCN}}=\dfrac{1}{3}SA.\left( x+y \right)=\dfrac{2}{3}\left( x+y \right).$
Từ $\left( 2 \right)$ suy ra ${{V}_{S.AMCN}}=\dfrac{2}{3}\left( x-2+\dfrac{12}{x+2} \right).$
Từ $\left( 2 \right)$ suy ra $y=\dfrac{12}{x+2}-2.$
Vì $N$ thuộc cạnh $AD$ nên $y\le 2\Rightarrow \dfrac{12}{x+2}-2\le 2\Leftrightarrow x\ge 1\Rightarrow x,y\in \left[ 1;2 \right].$
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( x-2+\dfrac{12}{x+2} \right)$ với $x\in \left[ 1;2 \right].$
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( 1-\dfrac{12}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x}^{2}}+4x-8}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}.$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-8=0\Leftrightarrow x=2\left( \sqrt{3}-1 \right).$
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)=2,f\left( 2\left( \sqrt{3}-1 \right) \right)=\dfrac{8\left( \sqrt{3}-1 \right)}{3}.$
$\Rightarrow $ Giá trị lớn nhất của ${{V}_{S.AMCN}}=2$ khi $x=1,y=2$ hoặc $x=2,y=1.$
$\Rightarrow T=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}=\dfrac{4}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}=\dfrac{5}{4}.$
A. $T=2.$
B. $T=\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}.$
C. $T=\dfrac{5}{4}.$
D. $T=\dfrac{13}{9}.$
Gọi $E,F$ lần lượt là giao điểm của $BD$ với $CM$ và $CN.$ Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD.$
Theo giả thiết, ta có $BD\bot \left( SAC \right).$
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên $SC.$
$\Rightarrow SC\bot \left( HEF \right).$
Vì $\left( SMC \right)\bot \left( SNC \right)$ nên $HE\bot HF.$
$\Rightarrow \Delta HEF$ vuông tại $H$ có chiều cao $OH.$
$\Rightarrow OE.OF=O{{H}^{2}}.$
Trong đó: $OH=OC.\sin \widehat{SCA}=OC.\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}\Rightarrow OE.OF=\dfrac{{{2}^{2}}}{6}=\dfrac{2}{3}\left( 1 \right).$
Đặt $AM=x,\left( x>0 \right),AN=y,\left( y>0 \right).$
Xét $\Delta ABC,$ gọi $K$ là trung điểm của $AM.$
Khi đó: $OK//CM\Rightarrow \dfrac{BE}{OE}=\dfrac{BM}{MK}\Rightarrow \dfrac{OB-OE}{OE}=\dfrac{2-x}{\dfrac{x}{2}}=\dfrac{2\left( 2-x \right)}{x}$
$\Rightarrow \dfrac{OB}{OE}=\dfrac{4-x}{x}\Rightarrow OE=\dfrac{2x\sqrt{2}}{2\left( 4-x \right)}.$
Chứng minh tương tự, ta có: $OF=\dfrac{2y\sqrt{2}}{2\left( 4-y \right)}.$
Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $\dfrac{4xy}{2\left( 4-x \right)\left( 4-y \right)}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow 3xy=\left( 4-x \right)\left( 4-y \right)\Leftrightarrow \left( x+2 \right)\left( y+2 \right)=12\left( 2 \right)$
Ta lại có: ${{S}_{AMCN}}={{S}_{AMC}}+{{S}_{ANC}}=\dfrac{1}{2}AC.AM.\sin {{45}^{0}}+\dfrac{1}{2}AC.AM.\sin {{45}^{0}}=\left( x+y \right).$
${{V}_{S.AMCN}}=\dfrac{1}{3}SA.\left( x+y \right)=\dfrac{2}{3}\left( x+y \right).$
Từ $\left( 2 \right)$ suy ra ${{V}_{S.AMCN}}=\dfrac{2}{3}\left( x-2+\dfrac{12}{x+2} \right).$
Từ $\left( 2 \right)$ suy ra $y=\dfrac{12}{x+2}-2.$
Vì $N$ thuộc cạnh $AD$ nên $y\le 2\Rightarrow \dfrac{12}{x+2}-2\le 2\Leftrightarrow x\ge 1\Rightarrow x,y\in \left[ 1;2 \right].$
Xét hàm số: $f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( x-2+\dfrac{12}{x+2} \right)$ với $x\in \left[ 1;2 \right].$
Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\left( 1-\dfrac{12}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{{{x}^{2}}+4x-8}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}.$
$f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x-8=0\Leftrightarrow x=2\left( \sqrt{3}-1 \right).$
Ta lại có: $f\left( 1 \right)=f\left( 2 \right)=2,f\left( 2\left( \sqrt{3}-1 \right) \right)=\dfrac{8\left( \sqrt{3}-1 \right)}{3}.$
$\Rightarrow $ Giá trị lớn nhất của ${{V}_{S.AMCN}}=2$ khi $x=1,y=2$ hoặc $x=2,y=1.$
$\Rightarrow T=\dfrac{1}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{N}^{2}}}=\dfrac{4}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{2}^{2}}}=\dfrac{5}{4}.$
Đáp án C.