Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho?
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{9}$
D. $4\pi {{a}^{3}}$
A. $\dfrac{4\pi {{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{7\pi {{a}^{3}}}{9}$
D. $4\pi {{a}^{3}}$
Cách giải:
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu có mặt bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{ben}},{{R}_{day}}$ lần lượt là bán kính dường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy và mặt đáy, $gt$ là độ dài giao tuyến của mặt bên vuông góc với đáy và mặt đáy.
Vì $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ nên ${{R}_{ben}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên ${{R}_{day}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB=a=gt.$
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}.$
Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu có mặt bên vuông góc với đáy là $R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}},$ trong đó ${{R}_{ben}},{{R}_{day}}$ lần lượt là bán kính dường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy và mặt đáy, $gt$ là độ dài giao tuyến của mặt bên vuông góc với đáy và mặt đáy.
Vì $SAB$ là tam giác đều cạnh $a$ nên ${{R}_{ben}}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên ${{R}_{day}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Ta có $\left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB=a=gt.$
Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là $R=\sqrt{R_{ben}^{2}+R_{day}^{2}-\dfrac{g{{t}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6}.$
Đáp án B.