Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$, $SA\bot \left( ABCD \right)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Tính góc giữa SC và $\left( ABCD \right)$.
A. ${{90}^{0}}$
B. ${{45}^{0}}$
C. ${{30}^{0}}$
D. ${{60}^{0}}$
A. ${{90}^{0}}$
B. ${{45}^{0}}$
C. ${{30}^{0}}$
D. ${{60}^{0}}$
Phương pháp giải:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là $a\sqrt{2}$.
Giải chi tiết:
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$ nên $AC=a\sqrt{3}.\sqrt{2}=a\sqrt{6}$.
Xét tam giác vuông $SAC$ ta có: $\tan \angle SCA=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \angle SCA={{30}^{0}}$.
Vậy $\angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)={{30}^{0}}$.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
- Sử dụng công thức tính nhanh: Độ dài đường chéo của hình vuông cạnh a là $a\sqrt{2}$.
Giải chi tiết:
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{3}$ nên $AC=a\sqrt{3}.\sqrt{2}=a\sqrt{6}$.
Xét tam giác vuông $SAC$ ta có: $\tan \angle SCA=\dfrac{SA}{SC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ $\Rightarrow \angle SCA={{30}^{0}}$.
Vậy $\angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)={{30}^{0}}$.
Đáp án C.