Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, góc giữa $SM$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên hình chiếu của $SM$ lên $\left( ABCD \right)$ là $AM$.
Do đó góc giữa $SM$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là góc giữa $SM$ và $AM$, là góc $SMA$ và bằng ${{60}^{0}}$.
Vì $M$ là trung điểm của $CD\Rightarrow DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{a}{2}$
Xét $\Delta ADM$ vuông tại $D$, có $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$, có $SA=AM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên hình chiếu của $SM$ lên $\left( ABCD \right)$ là $AM$.
Do đó góc giữa $SM$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là góc giữa $SM$ và $AM$, là góc $SMA$ và bằng ${{60}^{0}}$.
Vì $M$ là trung điểm của $CD\Rightarrow DM=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{a}{2}$
Xét $\Delta ADM$ vuông tại $D$, có $AM=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$
Xét $\Delta SAM$ vuông tại $A$, có $SA=AM.\tan {{60}^{0}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$
Vậy thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
Đáp án B.