Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình vuông cạnh ${a}$, mặt bên ${SAB}$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy . Khoảng cách từ ${B}$ đến mặt phẳng ${\left( SAC \right)}$ bằng
A. ${\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.}$
B. ${\dfrac{\sqrt{21}a}{28}.}$
C. ${\dfrac{\sqrt{21}a}{7}.}$
D. ${\dfrac{\sqrt{21}a}{14}.}$
Gọi H là trung điểm của AB ta có SH vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).
Kẻ HN vuông góc với AC ta có AC vuông góc đồng thời với SH và HN, như vậy AC vuông với mặt phẳng (SHN), dẫn đến hai mặt (SAC), (SHN) vuông góc theo giao tuyến SN.
Kẻ HK vuông với SN thì HK vuông với toàn mặt (SAC).
Chú ý HN là trung bình tam giác ABO nên
$HN=\dfrac{1}{2}BO=\dfrac{1}{4}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}; SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HK=\dfrac{HN.SH}{\sqrt{H{{N}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
A. ${\dfrac{\sqrt{2}a}{2}.}$
B. ${\dfrac{\sqrt{21}a}{28}.}$
C. ${\dfrac{\sqrt{21}a}{7}.}$
D. ${\dfrac{\sqrt{21}a}{14}.}$
Gọi H là trung điểm của AB ta có SH vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD).
Kẻ HN vuông góc với AC ta có AC vuông góc đồng thời với SH và HN, như vậy AC vuông với mặt phẳng (SHN), dẫn đến hai mặt (SAC), (SHN) vuông góc theo giao tuyến SN.
Kẻ HK vuông với SN thì HK vuông với toàn mặt (SAC).
Chú ý HN là trung bình tam giác ABO nên
$HN=\dfrac{1}{2}BO=\dfrac{1}{4}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}; SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HK=\dfrac{HN.SH}{\sqrt{H{{N}^{2}}+S{{H}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{14}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}.$
Đáp án C.