Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Hình chiếu của đỉnh $S$ trên mặt phẳng đáy là điểm $H$ sao cho $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AH}.$ Góc giữa cạnh $SD$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng ${{45}^{0}}.$ Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.HCD.$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{9}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{9}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{18}$
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{9}$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{9}$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{6}$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{18}$
Phương pháp:
- Xác định góc giữa $SD$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa $SD$ và hình chiếu của $SD$ lên $\left( ABCD \right)$.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính $SH.$
- Tính ${{S}_{\Delta HCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta AHD}}-{{S}_{\Delta BCH}}.$
- Tính ${{V}_{S.HCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta HCD}}.$
Cách giải:
Ta có $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow HD$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ lên $\left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( SD;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;HD \right)=\angle SDH={{45}^{0}}.$
$\Rightarrow \Delta SHD$ vuông cân tại $H\Rightarrow SH=HD=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.$
Ta có ${{S}_{\Delta HCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta AHD}}-{{S}_{\Delta BCH}}={{a}^{2}}-\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{3}-\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.HCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta HCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{8}.$
- Xác định góc giữa $SD$ và $\left( ABCD \right)$ là góc giữa $SD$ và hình chiếu của $SD$ lên $\left( ABCD \right)$.
- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính $SH.$
- Tính ${{S}_{\Delta HCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta AHD}}-{{S}_{\Delta BCH}}.$
- Tính ${{V}_{S.HCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta HCD}}.$
Cách giải:
Ta có $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow HD$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ lên $\left( ABCD \right)$.
$\Rightarrow \angle \left( SD;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SD;HD \right)=\angle SDH={{45}^{0}}.$
$\Rightarrow \Delta SHD$ vuông cân tại $H\Rightarrow SH=HD=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \dfrac{a}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.$
Ta có ${{S}_{\Delta HCD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta AHD}}-{{S}_{\Delta BCH}}={{a}^{2}}-\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{a}{3}-\dfrac{1}{2}.a.\dfrac{2a}{3}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2}.$
Vậy ${{V}_{S.HCD}}=\dfrac{1}{3}SH.{{S}_{\Delta HCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{10}}{8}.$
Đáp án D.