Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $CD,AD.$ Gọi $E$ là giao điểm của $AM$ và $BN,$ mặt bên $SCD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo $a$ bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SECM.$
A. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}.$
B. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
C. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Dễ dàng chứng minh được $AM\bot BN,$ từ đó suy ra tứ giác $MCBE$ là tứ giác nội tiếp có tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ là trung điểm $MB.$ Ta dễ dàng chứng minh được $SM\bot \left( ABCD \right).$ Gọi $I$ là trung điểm $SB,$ suy ra $IH//SM\Rightarrow IH\bot \left( MCE \right).$ Ta có $IM=IS=IB=IC=IE,$ suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ECM,$ bán kính là $IB.$
Ta có $R=IB=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2}a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
A. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{6}.$
B. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
C. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
D. $R=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
Dễ dàng chứng minh được $AM\bot BN,$ từ đó suy ra tứ giác $MCBE$ là tứ giác nội tiếp có tâm đường tròn ngoại tiếp $H$ là trung điểm $MB.$ Ta dễ dàng chứng minh được $SM\bot \left( ABCD \right).$ Gọi $I$ là trung điểm $SB,$ suy ra $IH//SM\Rightarrow IH\bot \left( MCE \right).$ Ta có $IM=IS=IB=IC=IE,$ suy ra $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ECM,$ bán kính là $IB.$
Ta có $R=IB=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{M}^{2}}+M{{B}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{1}{2}a \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Đáp án C.