Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy là hình vuông cạnh ${a}$, cạnh bên ${SA = 2a}$. Trong trường hợp khoảng cách giữa ${AB}$ và ${SC}$ lớn nhất hãy tính giá trị lớn nhất thể tích khối chóp ${S.ABCD}$.
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}}$
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{4}}$
C. ${\dfrac{{2{a^3}}}{3}}$
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}}$
Vì $AB//CD$ và $CD\subset \left( SCD \right),SC\subset \left( SCD \right)$ nên $d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)$
Trong tam giác $\Delta ABC$, kẻ đường cao SM. Ta có $SM\bot CD$
Kẻ MI song song với BC cắt AD tại $I\Rightarrow MI\bot CD$
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SM \\
& CD\bot MI \\
& \left( SM\cap MI \right)\subset \left( SMI \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SMI \right)$
Kẻ $IH\bot SM$ tại H, ta có $d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( I,\left( SCD \right) \right)=IH$
Vì $IH=\sqrt{I{{M}^{2}}M{{H}^{2}}}$ mà $MH>0$ nên IH đạt GTLN khi $MH=0\Rightarrow H\equiv M.$
Vậy $SM\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SM.{{S}_{ABCD}}$
Đặt $x=DM\left( x\ge 0 \right)$
Ta có $AM=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}},S{{M}^{2}}=S{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}\Rightarrow SM=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Có $AM=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt giá trị lớn nhất ở $\Leftrightarrow \sqrt{3a{{x}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất $k=10$ và ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
A. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}}$
B. ${\dfrac{{{a^3}}}{4}}$
C. ${\dfrac{{2{a^3}}}{3}}$
D. ${\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}}$
Vì $AB//CD$ và $CD\subset \left( SCD \right),SC\subset \left( SCD \right)$ nên $d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)$
Trong tam giác $\Delta ABC$, kẻ đường cao SM. Ta có $SM\bot CD$
Kẻ MI song song với BC cắt AD tại $I\Rightarrow MI\bot CD$
Vậy $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SM \\
& CD\bot MI \\
& \left( SM\cap MI \right)\subset \left( SMI \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SMI \right)$
Kẻ $IH\bot SM$ tại H, ta có $d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( I,\left( SCD \right) \right)=IH$
Vì $IH=\sqrt{I{{M}^{2}}M{{H}^{2}}}$ mà $MH>0$ nên IH đạt GTLN khi $MH=0\Rightarrow H\equiv M.$
Vậy $SM\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SM.{{S}_{ABCD}}$
Đặt $x=DM\left( x\ge 0 \right)$
Ta có $AM=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}},S{{M}^{2}}=S{{B}^{2}}-A{{M}^{2}}\Rightarrow SM=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Có $AM=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{3{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt giá trị lớn nhất ở $\Leftrightarrow \sqrt{3a{{x}^{2}}-{{x}^{2}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất $k=10$ và ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$
Đáp án D.