Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên...

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.
Theo bài, $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
Suy ra $\left( \widehat{SC,\left( ABCD \right)} \right)=\left( \widehat{SC,AC} \right)=\widehat{SCA}=60{}^\circ $.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên theo định lý Pytago, ta có $A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}$.
$\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ nên $\tan \widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}$ $\Rightarrow SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{2}.\tan 60{}^\circ =a\sqrt{6}$.
Vì $OA=OC$ nên $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Hạ $AH\bot SO$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AO \\
& BD\bot SA \\
& SA,AO\subset \left( SAO \right) \\
& SA\cap AO=\left\{ A \right\} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow BD\bot \left( SAO \right) $ mà $ AH\subset \left( SAO \right) $ nên $ BD\bot AH$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot AH \\
& SO\bot AH \\
& SO,BD\subset \left( SBD \right) \\
& SO\cap BD=\left\{ O \right\} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Rightarrow AH\bot \left( SBD \right) $ $ \Rightarrow d\left( A,\left( SBD \right) \right)=AH$.
Vì $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ nên $AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $SAO$ vuông tại $A$ nên $AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{O}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{6} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{78}}{13}$.
Vậy $d\left( C,\left( SBD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{78}}{13}$.