Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA=a\sqrt{7}$ và vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Tính theo $a$ diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$
A. $12\pi {{a}^{2}}$
B. $18\pi {{a}^{2}}$
C. $9\pi {{a}^{2}}$
D. $36\pi {{a}^{2}}$
Ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC\Rightarrow \widehat{SAC}={{90}^{0}}$
Lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \widehat{SBC}={{90}^{0}}$
Chứng minh tương tự $\widehat{SDC}={{90}^{0}}.$
Như vậy các định $A,B,D$ cùng nhìn cạnh $SC$ dưới góc ${{90}^{0}}$ suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có tâm là trung điểm của $SC$ và bán kính $R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{7{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}{2}=\dfrac{3a}{2}$
Dinej tích mặt cầu là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}=9\pi {{a}^{2}}.$
A. $12\pi {{a}^{2}}$
B. $18\pi {{a}^{2}}$
C. $9\pi {{a}^{2}}$
D. $36\pi {{a}^{2}}$
Ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AC\Rightarrow \widehat{SAC}={{90}^{0}}$
Lại có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \widehat{SBC}={{90}^{0}}$
Chứng minh tương tự $\widehat{SDC}={{90}^{0}}.$
Như vậy các định $A,B,D$ cùng nhìn cạnh $SC$ dưới góc ${{90}^{0}}$ suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ có tâm là trung điểm của $SC$ và bán kính $R=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{7{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}{2}=\dfrac{3a}{2}$
Dinej tích mặt cầu là: $S=4\pi {{R}^{2}}=4\pi .\dfrac{9{{a}^{2}}}{4}=9\pi {{a}^{2}}.$
Đáp án C.