Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $3a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng đáy $ABCD$ là điểm $H$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $HB=2HA$. Cạnh $SA$ hợp với mặt phẳng đáy góc ${{60}^{0}}$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$
A. $21\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{55\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $\dfrac{475\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $22\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $G$ là tâm hình vuông $ABCD$ ; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $SA$ ; ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$.
Vì ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$ nên ta có $HA=H{A}'$. Suy ra $SH$ là đường trung trực của $\text{A{A}'}$. Do đó $\Delta SA{A}'$ là tam giác cân.
Mà $\widehat{SA{A}'}$ = $\left( \widehat{SA,\left( ABCD \right)} \right)$ = ${{60}^{\circ }}$. Do đó $\Delta SA{A}'$ là tam giác đều cạnh bằng $2a$.
Từ $M$ kẽ đường trung trực của $AB$ cắt ${A}'N$ tại $K$. Khi đó $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$.
Qua $G$ dựng trục đường tròn ngoại tiếp $Gy$ của hình vuông $ABCD$.
Qua $K$ dựng trục đường tròn ngoại tiếp $Kx$ của $\Delta SAB$.
Gọi $O=Kx\cap Gy$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Ta có ${A}'N=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}-A{{N}^{2}}}=a\sqrt{3}$ ; $M{A}'=\dfrac{a}{2}$.
Ta lại có $\Delta MK{A}'\sim \Delta NA{A}'\Rightarrow \dfrac{{A}'K}{A{A}'}=\dfrac{M{A}'}{N{A}'}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow {A}'K=\dfrac{\sqrt{3}}{6}A{A}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\Rightarrow KN=A'N-A'K=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow KS=\sqrt{K{{N}^{2}}+N{{S}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$
Mặt khác $KO=MG=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{3a}{2}$.
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp ${{R}^{2}}=S{{O}^{2}}=K{{S}^{2}}+K{{O}^{2}}=\dfrac{55{{a}^{2}}}{12}$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $\dfrac{55\pi {{a}^{2}}}{3}$.
A. $21\pi {{a}^{2}}$.
B. $\dfrac{55\pi {{a}^{2}}}{3}$.
C. $\dfrac{475\pi {{a}^{2}}}{3}$.
D. $22\pi {{a}^{2}}$.
Gọi $G$ là tâm hình vuông $ABCD$ ; $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AB$, $SA$ ; ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$.
Vì ${A}'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$ nên ta có $HA=H{A}'$. Suy ra $SH$ là đường trung trực của $\text{A{A}'}$. Do đó $\Delta SA{A}'$ là tam giác cân.
Mà $\widehat{SA{A}'}$ = $\left( \widehat{SA,\left( ABCD \right)} \right)$ = ${{60}^{\circ }}$. Do đó $\Delta SA{A}'$ là tam giác đều cạnh bằng $2a$.
Từ $M$ kẽ đường trung trực của $AB$ cắt ${A}'N$ tại $K$. Khi đó $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$.
Qua $G$ dựng trục đường tròn ngoại tiếp $Gy$ của hình vuông $ABCD$.
Qua $K$ dựng trục đường tròn ngoại tiếp $Kx$ của $\Delta SAB$.
Gọi $O=Kx\cap Gy$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.
Ta có ${A}'N=\sqrt{A{{{{A}'}}^{2}}-A{{N}^{2}}}=a\sqrt{3}$ ; $M{A}'=\dfrac{a}{2}$.
Ta lại có $\Delta MK{A}'\sim \Delta NA{A}'\Rightarrow \dfrac{{A}'K}{A{A}'}=\dfrac{M{A}'}{N{A}'}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow {A}'K=\dfrac{\sqrt{3}}{6}A{A}'=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
$\Rightarrow KN=A'N-A'K=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ $\Rightarrow KS=\sqrt{K{{N}^{2}}+N{{S}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$
Mặt khác $KO=MG=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{3a}{2}$.
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp ${{R}^{2}}=S{{O}^{2}}=K{{S}^{2}}+K{{O}^{2}}=\dfrac{55{{a}^{2}}}{12}$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $\dfrac{55\pi {{a}^{2}}}{3}$.
Đáp án B.