Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{14}}{6}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{14}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
Gọi $M,H$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB$. Do mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH=a\sqrt{3}$ và $CD\bot HM\Rightarrow CD\bot \left( SMH \right)$.
Kẻ $HK\bot SM\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)$.
Do đó $d\left( A;\left( SCD \right) \right)=d\left( H;\left( SCD \right) \right)=HK$
Xét tam giác $SMH$ vuông tại $H$ có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{HS.HM}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=\dfrac{2a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Vậy $d\left( A;\left( SCD \right) \right)=HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{14}}{6}$.
C. $\dfrac{3a\sqrt{14}}{7}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{6}$.
trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH=a\sqrt{3}$ và $CD\bot HM\Rightarrow CD\bot \left( SMH \right)$.
Kẻ $HK\bot SM\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)$.
Do đó $d\left( A;\left( SCD \right) \right)=d\left( H;\left( SCD \right) \right)=HK$
Xét tam giác $SMH$ vuông tại $H$ có $\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}\Rightarrow HK=\dfrac{HS.HM}{\sqrt{H{{S}^{2}}+H{{M}^{2}}}}=\dfrac{2a.a\sqrt{3}}{\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}+{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Vậy $d\left( A;\left( SCD \right) \right)=HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$.
Đáp án A.