Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2a,$ cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SC$ với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng ${{30}^{0}}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng:
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{8\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}}{3}$
B. $\dfrac{8\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
C. $\dfrac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
D. $\dfrac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}$
Phương pháp:
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó. Xác định $\angle \left( SC;\left( SAB \right) \right).$
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $SB,$ sử dụng định lí Pytago tính $SA.$
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SB $ là hình chiếu vuông góc của $ SC $ lên $ \left( SAB \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SC;SB \right)=\angle BSC={{30}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SBC$ có $SB=BC.\cot {{30}^{0}}=2a\sqrt{3}.$
Xét tam giác vuông $SAB:SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}a.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{8\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó. Xác định $\angle \left( SC;\left( SAB \right) \right).$
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính $SB,$ sử dụng định lí Pytago tính $SA.$
- Tính thể tích ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}.$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow SB $ là hình chiếu vuông góc của $ SC $ lên $ \left( SAB \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( SAB \right) \right)=\angle \left( SC;SB \right)=\angle BSC={{30}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SBC$ có $SB=BC.\cot {{30}^{0}}=2a\sqrt{3}.$
Xét tam giác vuông $SAB:SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{12{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}}=2\sqrt{2}a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.2\sqrt{2}a.{{\left( 2a \right)}^{2}}=\dfrac{8\sqrt{2}{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án B.