Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh 22. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=3.$ Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ qua A và vuông góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
A. $V=\dfrac{32\pi }{3}$
B. $V=\dfrac{64\sqrt{2}\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{108\pi }{3}$
D. $V=\dfrac{125\pi }{6}$
A. $V=\dfrac{32\pi }{3}$
B. $V=\dfrac{64\sqrt{2}\pi }{3}$
C. $V=\dfrac{108\pi }{3}$
D. $V=\dfrac{125\pi }{6}$
Phương pháp:
- Chứng minh $\angle AMC=\angle ANC=\angle APC={{90}^{0}}$ và suy ra khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
- Xác định bán kính R của khối cầu.
- Tinh thể tích khối cầu bán kính $R:V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}.$
Cách giải:
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left(SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left(SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC$
$\Rightarrow \angle AMC={{90}^{0}}$ hay điểm M thuộc mặt cầu đường kính AC.
Chứng minh tương tự ta có $AP\bot \left(SCD \right)\Rightarrow AP\bot PC\Rightarrow \angle APC={{90}^{0}}$ hay P thuộc mặt cầu đường kính AC.
Lại có $AN\bot SC\Rightarrow \angle ANC={{90}^{0}}$ hay N thuộc mặt cầu đường kính AC.
Do đó CMNP nội tiếp khối cầu đường kính AC hay khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP có bán kính $R=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}. 2\sqrt{2}.\sqrt{2}=2.$
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{. 2}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}.$
- Chứng minh $\angle AMC=\angle ANC=\angle APC={{90}^{0}}$ và suy ra khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP.
- Xác định bán kính R của khối cầu.
- Tinh thể tích khối cầu bán kính $R:V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}.$
Cách giải:
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left(SAB \right)\Rightarrow BC\bot AM.$
$\left\{ \begin{aligned}
& AM\bot BC \\
& AM\bot SC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM\bot \left(SBC \right)\Rightarrow AM\bot MC$
$\Rightarrow \angle AMC={{90}^{0}}$ hay điểm M thuộc mặt cầu đường kính AC.
Chứng minh tương tự ta có $AP\bot \left(SCD \right)\Rightarrow AP\bot PC\Rightarrow \angle APC={{90}^{0}}$ hay P thuộc mặt cầu đường kính AC.
Lại có $AN\bot SC\Rightarrow \angle ANC={{90}^{0}}$ hay N thuộc mặt cầu đường kính AC.
Do đó CMNP nội tiếp khối cầu đường kính AC hay khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP có bán kính $R=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}. 2\sqrt{2}.\sqrt{2}=2.$
Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{. 2}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}.$
Đáp án A.