Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $AB=a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$ (minh họa như hình vẽ). Gọi $M$ là trung điểm của $CD$, khoảng cách từ điểm $M$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$ bằng
A. $\frac{2a}{3}$.
B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
Vì $MD=\frac{1}{2}CD$ nên $d\left( M,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{1}{2}d\left( C,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{1}{2}d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Gọi $I$ tâm của hình vuông $ABCD$.
Ta có $AI\bot BD$, $SA\bot BD$ $\Rightarrow BD\bot \left( SAI \right)$ $\Rightarrow \left( SAI \right)\bot \left( SBD \right)$.
$SI$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( SAI \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SAI \right)$ ta dựng $AH\bot SI$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$ $\Rightarrow AH=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Tam giác $SAI$ vuông tại $A$ do đó
$\frac{1}{A{{H}^{2}}}$ $=$ $\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{I}^{2}}}$ $=$ $\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{AC}{2} \right)}^{2}}}$ $=$ $\frac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}$ $=$ $\frac{9}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\frac{2a}{3}$.
Vậy $d\left( M,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{1}{2}d\left( A,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{a}{3}$.
A. $\frac{2a}{3}$.
B. $\frac{a}{\sqrt{2}}$.
C. $\frac{a}{2}$.
D. $\frac{a}{3}$.
Vì $MD=\frac{1}{2}CD$ nên $d\left( M,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{1}{2}d\left( C,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{1}{2}d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Gọi $I$ tâm của hình vuông $ABCD$.
Ta có $AI\bot BD$, $SA\bot BD$ $\Rightarrow BD\bot \left( SAI \right)$ $\Rightarrow \left( SAI \right)\bot \left( SBD \right)$.
$SI$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( SBD \right)$ và $\left( SAI \right)$.
Trong mặt phẳng $\left( SAI \right)$ ta dựng $AH\bot SI$ $\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)$ $\Rightarrow AH=d\left( A,\left( SBD \right) \right)$.
Tam giác $SAI$ vuông tại $A$ do đó
$\frac{1}{A{{H}^{2}}}$ $=$ $\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{I}^{2}}}$ $=$ $\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{AC}{2} \right)}^{2}}}$ $=$ $\frac{1}{{{\left( 2a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}$ $=$ $\frac{9}{4{{a}^{2}}}$ $\Rightarrow AH=\frac{2a}{3}$.
Vậy $d\left( M,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{1}{2}d\left( A,\left( SBD \right) \right)$ $=$ $\frac{a}{3}$.
Đáp án D.