Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O,\Delta ABD$ đều cạnh $a\sqrt{2},SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}$ (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng:
A. ${{45}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{60}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
A. ${{45}^{0}}$
B. ${{30}^{0}}$
C. ${{60}^{0}}$
D. ${{90}^{0}}$
Phương pháp:
Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc giữa đường thẳng $d$ và đường thẳng $d'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right).$
Cách giải:
Theo đề bài ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow AO$ là hình chiếu của $SO$ trên $\left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SO;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SO,AO \right)=\angle SOA$
$\Delta ABD$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{2}\Rightarrow AO=AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Xét $\Delta SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\tan \angle SOA=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}:\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\sqrt{3}$
$\Rightarrow \angle SOA={{60}^{0}}$
Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc giữa đường thẳng $d$ và đường thẳng $d'$ là hình chiếu của $d$ trên $\left( P \right).$
Cách giải:
Theo đề bài ta có: $SA\bot \left( ABCD \right)$
$\Rightarrow AO$ là hình chiếu của $SO$ trên $\left( ABCD \right).$
$\Rightarrow \angle \left( SO;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SO,AO \right)=\angle SOA$
$\Delta ABD$ là tam giác đều cạnh $a\sqrt{2}\Rightarrow AO=AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{2}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Xét $\Delta SAO$ vuông tại $A$ ta có: $\tan \angle SOA=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}:\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\sqrt{3}$
$\Rightarrow \angle SOA={{60}^{0}}$
Đáp án C.