Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại A và...

Phương pháp:

Gọi $a'$ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng $\left( P \right).~$
Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng $\left( P \right)$ là góc giữa đường thẳng $a$ và $a'.~$
Cách giải:

Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $SC,AB.$ Dễ dàng chứng minh được $MENF$ là hình thang vuông
$~\left( ME//NF,\angle M=\angle F={{90}^{0}} \right)$
Gọi $K$ là giao điểm của $NF$ và $AC,I$ là giao điểm của $~EK$ và $MN$. Khi đó, $I$ chính là giao điểm của $MN$ và $\left( SAC \right)~$
Do $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
NC\bot AC \\
NC\bot SA \\
\end{array}\Rightarrow NC+(SAC) \right. $ và $ C $là hình chiếu vuông góc của $ N$ lên
$(\text{SAC})\Rightarrow \angle \left( MN;(SAC) \right)=\angle NIC$
Tam giác $NIC$ vuông tại $C\Rightarrow \sin NIC=\dfrac{NC}{IN}$
Ta có: $NC=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{1}{2}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},$
$MN=\sqrt{M{{F}^{2}}+N{{F}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{3a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2},$
$\dfrac{IN}{IM}=\dfrac{KN}{ME}=2\Rightarrow IN=\dfrac{2}{3}MN=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{10}}{2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}\Rightarrow \sin NIC=\dfrac{NC}{IN}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}$
Vậy, sin của góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng ( SAC ) là: $\dfrac{3\sqrt{5}}{10}.$