Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang có $AD//BC,M$ là điểm di động trong hình thang $ABCD.$ Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SA$ và $SB$ lần lượt cắt các mặt $\left( SBC \right)$ và $\left( SAD \right)$ tại $N$ và $P.$ Cho $SA=a,SB=b.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=M{{N}^{2}}.MP.$
A. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{8}$.
B. $\dfrac{a{{b}^{2}}}{8}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{2}}b}{27}$.
D. $\dfrac{4a{{b}^{2}}}{27}$.
Gọi giao điểm của BM với AD là J, giao điểm của AM với BC là I
Gọi độ dài MN là x, độ dài MP là y.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{MN}{SA}=\dfrac{IM}{IA} \\
& \dfrac{MP}{SB}=\dfrac{JM}{JB}=\dfrac{AM}{AI} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$
$\Rightarrow P=(\dfrac{x}{2a}.\dfrac{x}{2a}.\dfrac{y}{b}).\dfrac{4{{a}^{2}}}{b}\le \dfrac{{{(\dfrac{x}{2a}+\dfrac{y}{2a}+\dfrac{y}{b})}^{3}}}{{{3}^{3}}}\dfrac{4{{a}^{2}}}{b}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{4{{a}^{2}}}{b}=\dfrac{4{{a}^{2}}b}{27}$ (BĐT Cauchy)
A. $\dfrac{{{a}^{2}}b}{8}$.
B. $\dfrac{a{{b}^{2}}}{8}$.
C. $\dfrac{4{{a}^{2}}b}{27}$.
D. $\dfrac{4a{{b}^{2}}}{27}$.
Gọi giao điểm của BM với AD là J, giao điểm của AM với BC là I
Gọi độ dài MN là x, độ dài MP là y.
Ta có:
$\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{MN}{SA}=\dfrac{IM}{IA} \\
& \dfrac{MP}{SB}=\dfrac{JM}{JB}=\dfrac{AM}{AI} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$
$\Rightarrow P=(\dfrac{x}{2a}.\dfrac{x}{2a}.\dfrac{y}{b}).\dfrac{4{{a}^{2}}}{b}\le \dfrac{{{(\dfrac{x}{2a}+\dfrac{y}{2a}+\dfrac{y}{b})}^{3}}}{{{3}^{3}}}\dfrac{4{{a}^{2}}}{b}=\dfrac{1}{27}.\dfrac{4{{a}^{2}}}{b}=\dfrac{4{{a}^{2}}b}{27}$ (BĐT Cauchy)
Đáp án C.