Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $AB//CD,AB=2DC,\angle ABC={{45}^{0}}.$ Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ là trung điểm $H$ của cạnh $AB$ và $SC\bot BC,SC=a.$ Gọi góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right)$ là $\alpha .$ Khi $\alpha $ thay đổi, tìm $\cos \alpha $ để thể tích khối chóp $S.ABCD$ có giá trị lớn nhất.
A. $\cos \alpha =-\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
B. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
C. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\cos \alpha =\pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
A. $\cos \alpha =-\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
B. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
C. $\cos \alpha =\dfrac{\sqrt{3}}{3}.$
D. $\cos \alpha =\pm \dfrac{\sqrt{6}}{3}.$
Cách giải:
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SC \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SCH \right)\Rightarrow BC\bot HC.$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& SC\subset \left( SBC \right),SC\bot BC\left( gt \right) \\
& HC\subset \left( ABCD \right),HC\bot BC\left( cmt \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;HC \right)=\angle SCH=\alpha .$
Xét tam giác vuông $SHC$ ta có: $SH=SC.\sin \alpha =a.\sin \alpha ,HC=SC.\cos \alpha =a.\cos \alpha $
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& HC\bot SB\left( cmt \right) \\
& \angle ABC={{45}^{0}}\left( gt \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta BCH $ vuông cân tại $ C\Rightarrow HB=HC.\sqrt{2}=a\sqrt{2}.\cos \alpha $
$\Rightarrow AB=2HB=2a\sqrt{2}.\cos \alpha $ và $DC=HB=a\sqrt{2}.\cos \alpha $.
Gọi $K$ là trung điểm của $BH$ ta có $CK\bot HB\Rightarrow CK\bot AB$ và $CK=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}\cos \alpha $.
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( AB+CD \right).CK}{2}=\dfrac{2a\sqrt{2}.\cos \alpha +a\sqrt{2}.\cos \alpha }{2}.\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}\cos \alpha =\dfrac{3}{2}{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}\alpha .$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.\sin \alpha .\dfrac{3}{2}{{a}^{2}}.{{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}\sin \alpha \left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right).$
Đặt $t=\sin \alpha ,t\in \left( 0;1 \right),$ xét hàm số $f\left( t \right)=1-{{t}^{3}},t\in \left( 0;1 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=1-3{{t}^{2}}=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (do $0<\alpha \le {{90}^{0}}$ nên $\cos \alpha >0).$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SC \\
& BC\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SCH \right)\Rightarrow BC\bot HC.$
Khi đó ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& SC\subset \left( SBC \right),SC\bot BC\left( gt \right) \\
& HC\subset \left( ABCD \right),HC\bot BC\left( cmt \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;HC \right)=\angle SCH=\alpha .$
Xét tam giác vuông $SHC$ ta có: $SH=SC.\sin \alpha =a.\sin \alpha ,HC=SC.\cos \alpha =a.\cos \alpha $
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& HC\bot SB\left( cmt \right) \\
& \angle ABC={{45}^{0}}\left( gt \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta BCH $ vuông cân tại $ C\Rightarrow HB=HC.\sqrt{2}=a\sqrt{2}.\cos \alpha $
$\Rightarrow AB=2HB=2a\sqrt{2}.\cos \alpha $ và $DC=HB=a\sqrt{2}.\cos \alpha $.
Gọi $K$ là trung điểm của $BH$ ta có $CK\bot HB\Rightarrow CK\bot AB$ và $CK=\dfrac{1}{2}BH=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}\cos \alpha $.
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=\dfrac{\left( AB+CD \right).CK}{2}=\dfrac{2a\sqrt{2}.\cos \alpha +a\sqrt{2}.\cos \alpha }{2}.\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}\cos \alpha =\dfrac{3}{2}{{a}^{2}}{{\cos }^{2}}\alpha .$
$\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.\sin \alpha .\dfrac{3}{2}{{a}^{2}}.{{\cos }^{2}}\alpha =\dfrac{1}{2}{{a}^{3}}\sin \alpha \left( 1-{{\sin }^{2}}\alpha \right).$
Đặt $t=\sin \alpha ,t\in \left( 0;1 \right),$ xét hàm số $f\left( t \right)=1-{{t}^{3}},t\in \left( 0;1 \right)$ ta có $f'\left( t \right)=1-3{{t}^{2}}=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \alpha =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ (do $0<\alpha \le {{90}^{0}}$ nên $\cos \alpha >0).$
Đáp án B.