Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a,AC=a\sqrt{5},SA=2a.$ Biết $SB\bot BC$ và $SD\bot DC.$ Thể tích của khối chóp $S.BCD$ bằng:
A. ${{V}_{S.BCD}}=4{{a}^{3}}$
B. ${{V}_{S.BCD}}=2{{a}^{3}}$
C. ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
D. ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
A. ${{V}_{S.BCD}}=4{{a}^{3}}$
B. ${{V}_{S.BCD}}=2{{a}^{3}}$
C. ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
D. ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{4{{a}^{3}}}{3}$
Cách giải:
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SB \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SA$
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SD \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SA$
$\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a.$
$\Rightarrow {{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.a.2a={{a}^{2}}.$
Vậy ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}.2a.{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
Ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot SB \\
& BC\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SA$
$\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot SD \\
& CD\bot AD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot SA$
$\Rightarrow SA\bot \left( ABCD \right)$
Áp dụng định lí Pytago ta có: $BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{5{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=2a.$
$\Rightarrow {{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{2}AB.BC=\dfrac{1}{2}.a.2a={{a}^{2}}.$
Vậy ${{V}_{S.BCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{BCD}}=\dfrac{1}{3}.2a.{{a}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}.$
Đáp án C.