Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O,AB=a,AD=a\sqrt{3},$ tam giác $SAD$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy...

* Gọi $H$ là trung điểm của $AD$. Do tam giác $SAD$ đều nên $SH\bot AD$
Do $\left( SAD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right).$
* Gọi $N$ là trung điểm của $SC;I=MN\cap SO.$
Ta thấy $I$ là trung điểm của $MN$ và $I$ là trung điểm của $SO.$
Khi đó $d\left( O,\left( DMN \right) \right)=d\left( S;\left( DMN \right) \right)\Rightarrow {{V}_{O.DMG}}={{V}_{S.DMG}}.$
* Ta có $\dfrac{{{V}_{S.MID}}}{{{V}_{S.AOD}}}=\dfrac{SM}{SA}.\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4};\dfrac{{{V}_{S.NID}}}{{{V}_{S.COD}}}=\dfrac{SN}{SC}.\dfrac{SI}{SO}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}.$
Mà ${{V}_{S.AOD}}={{V}_{S.COD}}=\dfrac{1}{2}.{{V}_{S.ADC}}\Rightarrow {{V}_{S.MND}}={{V}_{S.MID}}+{{V}_{S.NID}}=\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} \right).\dfrac{1}{2}.{{V}_{S.ADC}}=\dfrac{1}{8}{{V}_{S.ABCD}}$
* Lại có ${{S}_{S.ABCD}}=AB.AD={{a}^{2}}\sqrt{3};SH=a\sqrt{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3a}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
Khi ấy ta được ${{V}_{S.MND}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{16}.$
* Mặt khác $\dfrac{{{S}_{MDG}}}{{{S}_{MDN}}}=\dfrac{DG}{DN}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow {{V}_{S.MDG}}=\dfrac{2}{3}.{{S}_{MIN}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$ Vậy ${{V}_{O.DMG}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}.$