Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, tam giác $SAB$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $AB=2SA, BC=2a$ và mặt phẳng $\left( SCD \right)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{60}^{0}}$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ tính theo $a$ bằng
A. $\dfrac{32\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $16{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{32{{a}^{3}}}{3}$.
Kẻ $SH\bot AB$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD \\
& HK\bot CD \\
& SK\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overset\frown{\left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SKH}={{60}^{0}}$
Xét tam giác $SKH$ vuông tại $H$ : $SH=HK.\tan {{60}^{0}}=2\sqrt{3}a$
Đặt $SA=x$
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $S$ : $SB=\sqrt{A{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}=\sqrt{3}x$
$SH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}\Leftrightarrow 2\sqrt{3}x=\dfrac{\sqrt{3}{{x}^{2}}}{2x}\Leftrightarrow x=4a$. Suy ra ${{S}_{ABCD}}=16{{a}^{2}}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.16{{a}^{2}}.2\sqrt{3}a=\dfrac{32\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
A. $\dfrac{32\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
B. $16\sqrt{3}{{a}^{3}}$.
C. $16{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{32{{a}^{3}}}{3}$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right) \\
& \left( SAB \right)\cap \left( ABCD \right)=AB \\
& SH\bot AB \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \left( SCD \right)\cap \left( ABCD \right)=CD \\
& HK\bot CD \\
& SK\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overset\frown{\left( \left( SCD \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SKH}={{60}^{0}}$
Xét tam giác $SKH$ vuông tại $H$ : $SH=HK.\tan {{60}^{0}}=2\sqrt{3}a$
Đặt $SA=x$
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $S$ : $SB=\sqrt{A{{B}^{2}}-S{{A}^{2}}}=\sqrt{3}x$
$SH=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}\Leftrightarrow 2\sqrt{3}x=\dfrac{\sqrt{3}{{x}^{2}}}{2x}\Leftrightarrow x=4a$. Suy ra ${{S}_{ABCD}}=16{{a}^{2}}$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.16{{a}^{2}}.2\sqrt{3}a=\dfrac{32\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}$.
Đáp án D.