Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật cạnh $AB=2AD=2a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( ABCD \right)$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$.
A. $a$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Trong $\left( ABCD \right)$, kẻ $HK\bot BD$ tại $K$.
Trong $\left( SHK \right)$, kẻ $HI\bot SK$ tại $I$.
Ta có $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)=2HI$.
Kẻ $AE\bot BD$, ta có $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{AE}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+4\left( \dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}} \right)$
Có $AB=2a,\ AD=a$, $SH=AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(A,\left( SBD) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
A. $a$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
C. $\dfrac{a}{2}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Trong $\left( ABCD \right)$, kẻ $HK\bot BD$ tại $K$.
Trong $\left( SHK \right)$, kẻ $HI\bot SK$ tại $I$.
Ta có $d\left( A,\left( SBD \right) \right)=2d\left( H,\left( SBD \right) \right)=2HI$.
Kẻ $AE\bot BD$, ta có $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{AE}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{S}^{2}}}+4\left( \dfrac{1}{A{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{D}^{2}}} \right)$
Có $AB=2a,\ AD=a$, $SH=AB.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ $\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $d(A,\left( SBD) \right)=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án B.