Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=a.$ Biết $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right),SA=a.$ Gọi $E$ là điểm thỏa mãn...

Ta có: $\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow SE//BC;SE=BC\Rightarrow SADE$ là hình chữ nhật. Dựng hình hộp chữ nhật $SGHE.ABCD.$
Ta có: $(\left(BED\right),\left(SBC\right))=(\left(BDEG\right),\left(BCES\right)).\left(1\right)$
Ta có tứ giác $ABGS$ là hình vuông $\Rightarrow AG\mathrm{\perp }SB\Rightarrow AG\mathrm{\perp }\left(BCES\right)\left(2\right)$
Kẻ $AI\mathrm{\perp }BD\Rightarrow AI\mathrm{\perp }\left(BDEG\right)\left(3\right).$ Gọi $J=AI\cap BC.$
Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ ta có $(\left(BED\right),\left(SBC\right))=(AG,AJ)={60}^0$
Đặt $AD=x.$ Ta có $\mathrm{\Delta }ABJ\backsim \mathrm{\Delta }ABD\Rightarrow {\displaystyle \frac{BJ}{AB}}={\displaystyle \frac{AB}{AD}}\Rightarrow BJ={\displaystyle \frac{A{B}^2}{AD}}={\displaystyle \frac{a^2}{x}}$
Từ đó ta có: $AJ={\displaystyle \frac{a}{x}}\sqrt{a^2+x^2};GJ={\displaystyle \frac{a}{x}}\sqrt{a^2+x^2};AG=a\sqrt{2}$
Vậy $\mathrm{\Delta }AGJ$ cân tại $J\Rightarrow \mathrm{\Delta }AGJ$ đều $\Rightarrow AJ=AG\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{x}}\sqrt{a^2+x^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow x=a.$
Ta có tứ diện $SDCE$ là hình chóp $S.DCE$ có $SE\mathrm{\perp }\left(CDE\right)$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp $S.DCE$ là
$R=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{SE}{2}}\right)}^2+R_{day}^2}$
Ta có $\mathrm{\Delta }CDE$ vuông cân tại $D\Rightarrow R_{day}={\displaystyle \frac{CE}{2}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}.$ Vậy $R=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{2}}\right)}^2}={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}.$