Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=a.$ Biết $SA\bot \left( ABCD \right),SA=a.$ Gọi $E$ là điểm thỏa mãn...

Ta có: $\overrightarrow{SE}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow SE//BC;SE=BC\Rightarrow SADE$ là hình chữ nhật. Dựng hình hộp chữ nhật $SGHE.ABCD.$
Ta có: $\left( \left( BED \right),\left( SBC \right) \right)=\left( \left( BDEG \right),\left( BCES \right) \right).\left( 1 \right)$
Ta có tứ giác $ABGS$ là hình vuông $\Rightarrow AG\bot SB\Rightarrow AG\bot \left( BCES \right)\left( 2 \right)$
Kẻ $AI\bot BD\Rightarrow AI\bot \left( BDEG \right)\left( 3 \right).$ Gọi $J=AI\cap BC.$
Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$ ta có $\left( \left( BED \right),\left( SBC \right) \right)=\left( AG,AJ \right)={{60}^{0}}$
Đặt $AD=x.$ Ta có $\Delta ABJ\backsim \Delta ABD\Rightarrow \dfrac{BJ}{AB}=\dfrac{AB}{AD}\Rightarrow BJ=\dfrac{A{{B}^{2}}}{AD}=\dfrac{{{a}^{2}}}{x}$
Từ đó ta có: $AJ=\dfrac{a}{x}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}};GJ=\dfrac{a}{x}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}};AG=a\sqrt{2}$
Vậy $\Delta AGJ$ cân tại $J\Rightarrow \Delta AGJ$ đều $\Rightarrow AJ=AG\Rightarrow \dfrac{a}{x}\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow x=a.$
Ta có tứ diện $SDCE$ là hình chóp $S.DCE$ có $SE\bot \left( CDE \right)$ nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp $S.DCE$ là
$R=\sqrt{{{\left( \dfrac{SE}{2} \right)}^{2}}+R_{day}^{2}}$
Ta có $\Delta CDE$ vuông cân tại $D\Rightarrow {{R}_{day}}=\dfrac{CE}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$ Vậy $R=\sqrt{{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$