Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật $AB=a,AD=2a,SA$ vuông...

Phương pháp:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia, gọi N là trung điểm của BC, chứng minh $d\left( BM;SD \right)=d(M;\left( SDN \right).~$
- Đổi tính khoảng cách từ M đến (SDN) sang tính khoảng cách từ A đến (SDN).
- Chứng minh $DN\bot (SAN)$
- Trong (SAN) kẻ $AH\bot SN$, chứng minh $AH\bot (SDN)$
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất tam giác vuông cân để tính khoảng cách.
Cách giải:


GọiN là trung điểm của BC ta có:$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
DM=BN \\
DM//BN \\
\end{array}\Rightarrow BNDM \right. $ là hình bình hành $ \Rightarrow BM//DN$
$\Rightarrow BM//(SDN)\supset SD\Rightarrow d(BM;SD)=d(BM;(SDN))=d(M;(SDN))$
Ta có: $AM\cap (SDN)=D\Rightarrow \dfrac{d(M;(SDN))}{d(A;(SDN))}=\dfrac{MD}{AD}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow d(M;(SDN))=\dfrac{1}{2}d(A;(SDN)).$
Trong (ABCD) gọi Ilà trung điểm của BM.
Ta có $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AM=BN \\
AM//BN \\
\end{array}\Rightarrow AMNB \right. $ là hình bình hành, do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nênI cũng là trung điểm của AN, hay $ A,I,K$ thẳng hàng.
Xét $\Delta ABM$ có $AB=AM=a\Rightarrow \Delta ABM$ vuông cân tại $4\Rightarrow AI\bot BM\Rightarrow AN\bot DN$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
DN\bot AN \\
DN\bot SA \\
\end{array}\Rightarrow DN\bot (SAN) \right..$
Trong (SAN) kẻ $AH\bot SN(H\in SN)$ ta có : $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AH\bot SN \\
AH\bot DN \\
\end{array}\Rightarrow AH\bot (SDN)\Rightarrow d(A;(SDN))=AH \right..$
Tam giác ABM vuông cân cạnh $a\Rightarrow BM=a\sqrt{2}=AN.$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAN có: $AH=\dfrac{SAAN}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}}}=\dfrac{a.a\sqrt{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.$
Vậy $d(BM;SD)=\dfrac{1}{2}AH=\dfrac{a\sqrt{6}}{6}.$