Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=3$, $AD=2$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
A. $V=\dfrac{20\pi }{3}$.
B. $V=\dfrac{32\pi }{3}$.
C. $V=\dfrac{10\pi }{3}$.
D. $V=\dfrac{16\pi }{3}$.
- Dựng đường thẳng $OS'$ đi qua tâm $O$ vuông góc với $(ABCD)$ $\Rightarrow $ Các điểm nằm trên $OS'$ cách đều các điểm $A,B,C,D$.
- Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta SAB$. Dựng $(d)$ đi qua $G$ và vuông góc với $(SAB)$ $\Rightarrow $ Các điểm nằm trên $(d)$ cách đều các điểm $S,A,B$.
- $(d)$ cắt $OS'$ tại $I$ $\Rightarrow $ $I$ cách đều các điểm $A,B,C,D,S$ $\Rightarrow $ $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$ với bán kính $R=IC$
$OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{A}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$, $IO=GM=\dfrac{1}{3}SM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$R=IC=\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{13}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=2$
$\Rightarrow $ $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{2}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$.
A. $V=\dfrac{20\pi }{3}$.
B. $V=\dfrac{32\pi }{3}$.
C. $V=\dfrac{10\pi }{3}$.
D. $V=\dfrac{16\pi }{3}$.
- Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta SAB$. Dựng $(d)$ đi qua $G$ và vuông góc với $(SAB)$ $\Rightarrow $ Các điểm nằm trên $(d)$ cách đều các điểm $S,A,B$.
- $(d)$ cắt $OS'$ tại $I$ $\Rightarrow $ $I$ cách đều các điểm $A,B,C,D,S$ $\Rightarrow $ $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$ với bán kính $R=IC$
$OC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{A}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}{2}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}$, $IO=GM=\dfrac{1}{3}SM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$R=IC=\sqrt{O{{C}^{2}}+O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{\sqrt{13}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=2$
$\Rightarrow $ $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi {{2}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}$.
Đáp án B.