Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $AB=3,AD=2.$ Mặt bên $\left( SAB \right)$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. $V=\dfrac{10\pi }{3}.$
B. $V=\dfrac{20\pi }{3}.$
C. $V=\dfrac{16\pi }{3}.$
D. $V=\dfrac{32\pi }{3}.$
$\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right),$ kẻ $SM\bot AB\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right).$
Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo, $J$ là trọng tâm tam giác $SAB.$
Dựng đường thẳng $\Delta $ qua $I$ và song song $SM,$ suy ra $\Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$.
Dựng đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $J$ và song song với $MI,$ suy ra $\left( d \right)$ là trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác $SAB.$
Gọi $O=\left( d \right)\cap \Delta \Rightarrow O$ là tâm mặt cầu.
$JM=\dfrac{1}{3}SM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{3};IA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{13}}{2}.$
$R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{J{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{13}{4}}=2\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}.$
A. $V=\dfrac{10\pi }{3}.$
B. $V=\dfrac{20\pi }{3}.$
C. $V=\dfrac{16\pi }{3}.$
D. $V=\dfrac{32\pi }{3}.$
$\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right),$ kẻ $SM\bot AB\Rightarrow SM\bot \left( ABCD \right).$
Gọi $I$ là giao điểm của hai đường chéo, $J$ là trọng tâm tam giác $SAB.$
Dựng đường thẳng $\Delta $ qua $I$ và song song $SM,$ suy ra $\Delta $ là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$.
Dựng đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua $J$ và song song với $MI,$ suy ra $\left( d \right)$ là trục đường tròn ngoại tiếp của tam giác $SAB.$
Gọi $O=\left( d \right)\cap \Delta \Rightarrow O$ là tâm mặt cầu.
$JM=\dfrac{1}{3}SM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{3};IA=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{\sqrt{13}}{2}.$
$R=OA=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{J{{M}^{2}}+I{{A}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}+\dfrac{13}{4}}=2\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{32\pi }{3}.$
Đáp án D.