Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành và có thể tích là $V$. Gọi $P$ là trung điểm của $SC$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $AP$ và cắt hai cạnh $SD, SB$ lần lượt tại $M, N$. Gọi ${V}'$ là thể tích khối chóp $S.AMPN$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỉ số $\frac{{{V}'}}{V}$.
A. $\frac{3}{8}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{1}{8}$.
Gọi $O=AC\cap BD, I=SO\cap AI,$ khi đó $MN$ qua $I$ là trọng tâm tam giác $SBD$.
Đặt $x=\frac{SD}{SM} \left( x\in \left[ 1 ; 2 \right] \right)$.
Ta có $\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SM}=\frac{SA}{SA}+\frac{SC}{SP}=3\Leftrightarrow \frac{SB}{SN}=3-x$.
Lại có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{2}\left[ \frac{{{V}_{S.AMP}}}{\frac{V}{2}}+\frac{{{V}_{S.AMP}}}{\frac{V}{2}} \right]=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2\left( 3-x \right)} \right)=\frac{3}{4.x.\left( 3-x \right)}\ge \frac{3}{4.{{\left( \frac{x+\left( 3-x \right)}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{3}$.
Vậy $\min \left\{ \frac{{{V}'}}{V} \right\}=\frac{1}{3}$ đạt được khi $x=\frac{3}{2}$.
Cách 2.
$\frac{{{V}'}}{V}=\frac{d\left( M;\left( SAC \right) \right)+d\left( N;\left( SAC \right) \right)}{d\left( B;\left( SAC \right) \right)+d\left( D;\left( SAC \right) \right)}.\frac{{{S}_{SAP}}}{{{S}_{SAC}}}=\frac{\frac{SM}{SD}d\left( D;\left( SAC \right) \right)+\frac{SN}{SB}d\left( B;\left( SAC \right) \right)}{2d\left( B;\left( SAC \right) \right)}.\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{4}.\left( \frac{SM}{SD}+\frac{SN}{SB} \right)$.
Ta có $\left( \frac{SD}{SM}+\frac{SB}{SN} \right)\left( \frac{SM}{SD}+\frac{SN}{SB} \right)\ge 4\Rightarrow \frac{SM}{SD}+\frac{SN}{SB}\ge \frac{4}{\frac{SD}{SM}+\frac{SB}{SN}}=\frac{4}{2.\frac{SI}{SG}}=\frac{4}{3}$.
Do đó $\min \left\{ \frac{{{V}'}}{V} \right\}=\frac{1}{3}$ đạt được khi $MN // BD$.
A. $\frac{3}{8}$.
B. $\frac{1}{3}$.
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{1}{8}$.
Gọi $O=AC\cap BD, I=SO\cap AI,$ khi đó $MN$ qua $I$ là trọng tâm tam giác $SBD$.
Đặt $x=\frac{SD}{SM} \left( x\in \left[ 1 ; 2 \right] \right)$.
Ta có $\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SM}=\frac{SA}{SA}+\frac{SC}{SP}=3\Leftrightarrow \frac{SB}{SN}=3-x$.
Lại có $\frac{{{V}'}}{V}=\frac{1}{2}\left[ \frac{{{V}_{S.AMP}}}{\frac{V}{2}}+\frac{{{V}_{S.AMP}}}{\frac{V}{2}} \right]=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2\left( 3-x \right)} \right)=\frac{3}{4.x.\left( 3-x \right)}\ge \frac{3}{4.{{\left( \frac{x+\left( 3-x \right)}{2} \right)}^{2}}}=\frac{1}{3}$.
Vậy $\min \left\{ \frac{{{V}'}}{V} \right\}=\frac{1}{3}$ đạt được khi $x=\frac{3}{2}$.
Cách 2.
$\frac{{{V}'}}{V}=\frac{d\left( M;\left( SAC \right) \right)+d\left( N;\left( SAC \right) \right)}{d\left( B;\left( SAC \right) \right)+d\left( D;\left( SAC \right) \right)}.\frac{{{S}_{SAP}}}{{{S}_{SAC}}}=\frac{\frac{SM}{SD}d\left( D;\left( SAC \right) \right)+\frac{SN}{SB}d\left( B;\left( SAC \right) \right)}{2d\left( B;\left( SAC \right) \right)}.\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{4}.\left( \frac{SM}{SD}+\frac{SN}{SB} \right)$.
Ta có $\left( \frac{SD}{SM}+\frac{SB}{SN} \right)\left( \frac{SM}{SD}+\frac{SN}{SB} \right)\ge 4\Rightarrow \frac{SM}{SD}+\frac{SN}{SB}\ge \frac{4}{\frac{SD}{SM}+\frac{SB}{SN}}=\frac{4}{2.\frac{SI}{SG}}=\frac{4}{3}$.
Do đó $\min \left\{ \frac{{{V}'}}{V} \right\}=\frac{1}{3}$ đạt được khi $MN // BD$.
Đáp án B.