Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác $SAB$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SC,SD$. Biết thể tích khối...

Phương pháp giải:
- Tính tỉ lệ thể tích ${\displaystyle \frac{V_{S.GMN}}{V_{S.ECD}}}$ dựa vào công thức tỉ lệ thể tích Simpson.
- So sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $S.ECD$ và $S.ABCD$, từ đó tính thể tích khối chóp $S.GMN$.
Giải chi tiết:

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Vì G là trọng tâm $\mathrm{\Delta }SAB$ nên ${\displaystyle \frac{SG}{SE}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.
Ta có:
${\displaystyle \frac{V_{S.GMN}}{V_{S.ECD}}}={\displaystyle \frac{SG}{SE}}.{\displaystyle \frac{SM}{SC}}.{\displaystyle \frac{SN}{SD}}={\displaystyle \frac{2}{3}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$
$\Rightarrow V_{S.GMN}={\displaystyle \frac{1}{6}}{V}_{S.ECD}$
Ta có: $S.ECD$ và $S.ABCD$ là hai khối chóp có cùng chiều cao nên
${\displaystyle \frac{V_{S.ECD}}{V_{S.ABCD}}}={\displaystyle \frac{S_{ECD}}{S_{ABCD}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}d(E;CD).CD}{d(E;CD).CD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\Rightarrow V_{S.ECD}={\displaystyle \frac{1}{2}}{V}_{S.ABCD}$
$\Rightarrow V_{S.GMN}={\displaystyle \frac{1}{6}}.{\displaystyle \frac{1}{2}}{V}_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{1}{12}}{V}_{S.ABCD}={\displaystyle \frac{V}{12}}$