Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác $SAB$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SC,SD$. Biết thể tích khối...

Phương pháp giải:
- Tính tỉ lệ thể tích $\dfrac{{{V}_{S.GMN}}}{{{V}_{S.ECD}}}$ dựa vào công thức tỉ lệ thể tích Simpson.
- So sánh thể tích hai khối chóp có cùng chiều cao $S.ECD$ và $S.ABCD$, từ đó tính thể tích khối chóp $S.GMN$.
Giải chi tiết:

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Vì G là trọng tâm $\Delta SAB$ nên $\dfrac{SG}{SE}=\dfrac{2}{3}$.
Ta có:
$\dfrac{{{V}_{S.GMN}}}{{{V}_{S.ECD}}}=\dfrac{SG}{SE}.\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SN}{SD}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$
$\Rightarrow {{V}_{S.GMN}}=\dfrac{1}{6}{{V}_{S.ECD}}$
Ta có: $S.ECD$ và $S.ABCD$ là hai khối chóp có cùng chiều cao nên
$\dfrac{{{V}_{S.ECD}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\dfrac{{{S}_{ECD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}d\left( E;CD \right).CD}{d\left( E;CD \right).CD}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow {{V}_{S.ECD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}$
$\Rightarrow {{V}_{S.GMN}}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{12}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{V}{12}$