Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và điểm $M$ là trung điểm của $SA.$ Biết thể tích khối chóp $A.SBC$ bằng $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}$ và $AC=a\sqrt{2},$ tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$.
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Ta có:
${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{A.SBC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AB=a.$
Vậy ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $\left( ABCD \right)$.
Ta có:
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}.$
$\Rightarrow SH=\dfrac{3{{V}_{S.ABCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( M,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
A. $a\sqrt{3}$
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{3}}{6}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Ta có:
${{V}_{S.ABCD}}=2{{V}_{S.ABC}}=2{{V}_{A.SBC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}.$
$AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AB=a.$
Vậy ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}.$
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ xuống $\left( ABCD \right)$.
Ta có:
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}.$
$\Rightarrow SH=\dfrac{3{{V}_{S.ABCD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\dfrac{3.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $d\left( M,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( S,\left( ABCD \right) \right)=\dfrac{1}{2}SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Đáp án D.