Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a,$ $SO$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SO=a.$ Khoảng cách...

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& AB//CD \\
& CD\subset \left( SCD \right)\Rightarrow AB//\left( SCD \right). \\
& CD\not\subset \left( SCD \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó $d\left( AB,SC \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=2d\left( O,\left( SCD \right) \right).$
Gọi $I$ là trung điểm cạnh $CD,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& CD\bot OI \\
& CD\bot SO \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SOI \right).$
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SI,$ ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& OH\bot SI \\
& OH\bot CD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SCD \right).$
Suy ra $d\left( O,\left( SCD \right) \right)=OH.$
Xét trong tam giác $SOI,$ có $SO=a,OI=\dfrac{a}{2}.$
$\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{4}{{{a}^{2}}}=\dfrac{5}{{{a}^{2}}}\Leftrightarrow OH=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}.$
Vậy $d\left( AB,SC \right)=2OH=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}.$