Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm $O,$ cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $\angle SBD={{60}^{0}}.$ Tính thể tích...

Phương pháp:
- Chứng minh $\Delta SBD$ đều, gọi $O=AC\cap BD,$ tính $SO.$
- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOA$ tính $SA.$
- Tính ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}$.
Cách giải:
Dễ thấy $\Delta SAB=\Delta SAD$ (2 cạnh góc vuông) $\Rightarrow SB=SD\Rightarrow \Delta SBD$ cân tại $S.$
Lại có $\angle SBD={{60}^{0}}\left( gt \right)\Rightarrow \Delta SBD$ đều.
Gọi $O=AC\cap BD.$ Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ và $\Delta SBD$ đều cạnh $a\sqrt{2}$ nên $SO=\dfrac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.$
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOA:SA=\sqrt{S{{O}^{2}}-O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \dfrac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=a.$
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.a.{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}.$