Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$ bằng $\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, theo đề ta có $SH\bot \left( ABCD \right)$
Vì $AB//\left( SCD \right)$ nên $d\left( AB,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)$
Gọi $F$ là trung điểm của $CD$, vẽ $HK\bot SF$
Ta có $CD\bot HF$, $CD\bot SH$ $\Rightarrow CD\bot \left( SHF \right)\Rightarrow CD\bot HK$
Suy ra $d\left( AB,SD \right)=HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$
Đặt $AB=x$, $\Delta SHF$ vuông tại $H$ có $HK$ là đường cao
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$
$\dfrac{7}{12{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{x}^{2}}}\Rightarrow x=2a$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}.4{{a}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
A. $\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
B. $\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
C. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
Vì $AB//\left( SCD \right)$ nên $d\left( AB,SD \right)=d\left( AB,\left( SCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)$
Gọi $F$ là trung điểm của $CD$, vẽ $HK\bot SF$
Ta có $CD\bot HF$, $CD\bot SH$ $\Rightarrow CD\bot \left( SHF \right)\Rightarrow CD\bot HK$
Suy ra $d\left( AB,SD \right)=HK=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}$
Đặt $AB=x$, $\Delta SHF$ vuông tại $H$ có $HK$ là đường cao
$\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{F}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$
$\dfrac{7}{12{{a}^{2}}}=\dfrac{1}{{{x}^{2}}}+\dfrac{4}{3{{x}^{2}}}=\dfrac{7}{3{{x}^{2}}}\Rightarrow x=2a$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}.SH.{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2a\sqrt{3}}{2}.4{{a}^{2}}=\dfrac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$.
.
Đáp án B.