Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$ có đáy ${ABCD}$ là hình vuông, cạnh bên ${SA=a\sqrt{2}}$ và ${SA}$ vuông góc với mặt đáy, tam giác ${SBD}$ là tam giác đều. Thể tích của khối chóp ${S.ABCD}$ bằng
A. ${\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}$.
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}$.
C. ${2{{a}^{3}}\sqrt{2}}$.
D. ${\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}}$.
Giả sử ABCD là hình vuông cạnh $x\Rightarrow AB=x;AC=BD=x\sqrt{2}.$
Ta có tam giác SBD đều $\Rightarrow SB=BD=x\sqrt{2}.$
Do cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy suy ra tam giác SAB vuông tại A
$\Rightarrow S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}=2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{2}.$
Từ đây ta suy ra thể tích của khối chóp S.ABCD bằng ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.A{{B}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
A. ${\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}$.
B. ${\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}}$.
C. ${2{{a}^{3}}\sqrt{2}}$.
D. ${\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}}$.
Giả sử ABCD là hình vuông cạnh $x\Rightarrow AB=x;AC=BD=x\sqrt{2}.$
Ta có tam giác SBD đều $\Rightarrow SB=BD=x\sqrt{2}.$
Do cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy suy ra tam giác SAB vuông tại A
$\Rightarrow S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+{{x}^{2}}=2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow x=a\sqrt{2}.$
Từ đây ta suy ra thể tích của khối chóp S.ABCD bằng ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}SA.A{{B}^{2}}=\dfrac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}.$
Đáp án A.