Google
Câu hỏi: Cho hình chóp ${S.ABCD}$, có đáy ${ABCD}$ là hình vuông cạnh ${a}$, cạnh bên ${SA}$ vuông góc với đáy ${ABCD}$. Gọi ${M}$ là trung điểm của ${SD}$ ; góc giữa ${\left( SBC \right)}$ và ${\left( AMC \right)}$ là ${\varphi }$ thỏa mãn ${\tan \varphi =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}$. Thể tích khối đa diện ${SABCM}$ bằng
A. ${\dfrac{5{{a}^{3}}}{9}}$.
B. ${\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}}{2}}$.
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}}{3}}$.
Gọi I là điểm đối xứng với M qua A.
Suy ra SADI là hình bình hành $\Rightarrow SI//AD\Rightarrow SI//BC\Rightarrow CI=\left( AMC \right)\cap \left( SBC \right).$
Kẻ $AH\bot SB$ và HK// BC. Khi đó ta có HK = BC = a và $\left( AHK \right)\bot CI=\widehat{AKH}$ là góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và mặt phẳng (SBC).
Tam giác AHKvuông tại H nên \tan $\widehat{AKH}=\dfrac{AH}{HK}\Rightarrow AH=HK\tan \widehat{AKH}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Tam giác SAB vuông tại A đường cao AH nên có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2a$
Ta có ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Mặt khác, ta có ${{V}_{SABCM}}={{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.AMC}}.$
ABCD là hình vuông nên ${{S}_{ACD}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
$\dfrac{{{V}_{S.ACM}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ACM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Vậy ${{V}_{SABCM}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
A. ${\dfrac{5{{a}^{3}}}{9}}$.
B. ${\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}}$.
C. ${\dfrac{{{a}^{3}}}{2}}$.
D. ${\dfrac{{{a}^{3}}}{3}}$.
Gọi I là điểm đối xứng với M qua A.
Suy ra SADI là hình bình hành $\Rightarrow SI//AD\Rightarrow SI//BC\Rightarrow CI=\left( AMC \right)\cap \left( SBC \right).$
Kẻ $AH\bot SB$ và HK// BC. Khi đó ta có HK = BC = a và $\left( AHK \right)\bot CI=\widehat{AKH}$ là góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và mặt phẳng (SBC).
Tam giác AHKvuông tại H nên \tan $\widehat{AKH}=\dfrac{AH}{HK}\Rightarrow AH=HK\tan \widehat{AKH}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$
Tam giác SAB vuông tại A đường cao AH nên có $\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{S{{A}^{2}}}=\dfrac{1}{A{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{A{{B}^{2}}}=\dfrac{1}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow SA=2a$
Ta có ${{S}_{ABCD}}={{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{2{{a}^{3}}}{3}$
Mặt khác, ta có ${{V}_{SABCM}}={{V}_{S.ABC}}+{{V}_{S.AMC}}.$
ABCD là hình vuông nên ${{S}_{ACD}}={{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{ABCD}}\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ACD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
$\dfrac{{{V}_{S.ACM}}}{{{V}_{S.ACD}}}=\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{S.ACM}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ACD}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$
Vậy ${{V}_{SABCM}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{2}$
Đáp án C.