Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Biết diện tích tam giác $SAB$ là $\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.$ Khoảng cách từ điểm $B$ đến $\left( SAC \right)$ là:
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AB$ hay $\Delta SAB$ vuông tại $A.$
$\Rightarrow {{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.AB=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}.AB=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=a.$ Do đó $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$
Gọi $O=AC\cap BD.$ Ta có $BD\bot SA;BD\bot AC\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right).$
$\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
A. $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
B. $\dfrac{a\sqrt{10}}{3}.$
C. $\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.$
D. $\dfrac{a\sqrt{2}}{3}.$
Ta có $SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot AB$ hay $\Delta SAB$ vuông tại $A.$
$\Rightarrow {{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SA.AB=\dfrac{1}{2}a\sqrt{3}.AB=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AB=a.$ Do đó $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$
Gọi $O=AC\cap BD.$ Ta có $BD\bot SA;BD\bot AC\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right).$
$\Rightarrow d\left( B,\left( SAC \right) \right)=BO=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
Đáp án A.