Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a.$ Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right).$ Khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$ bằng
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$
C. $a\sqrt{2}$
D. $a$
A. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
B. $\dfrac{a\sqrt{21}}{3}$
C. $a\sqrt{2}$
D. $a$
Cách giải:
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ suy ra $SH$ là đường cao của khối chóp $S.ABCD$
Ta có: $BH//CD\Rightarrow BH//\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( B,\left( BCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)$
Từ $H$ kẻ $HK\bot CD;HI\bot SK$
Ta có: $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HI$
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác $SHK$ vuông tại $H$ nên: $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ suy ra $SH$ là đường cao của khối chóp $S.ABCD$
Ta có: $BH//CD\Rightarrow BH//\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( B,\left( BCD \right) \right)=d\left( H,\left( SCD \right) \right)$
Từ $H$ kẻ $HK\bot CD;HI\bot SK$
Ta có: $d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HI$
Tam giác $SAB$ đều cạnh $a\Rightarrow SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$
Tam giác $SHK$ vuông tại $H$ nên: $\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{H{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Vậy $d\left( B,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Đáp án A.