Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều, $SC=SD=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$.
Ta có: $SM\bot AB, SN\bot CD, AB\text{//}CD$ $\Rightarrow SM, SN\bot AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( SMN \right)$
$\Rightarrow \left( SMN \right)\bot \left( ABCD \right);$ $\left( SMN \right)\cap \left( ABCD \right)=MN$ $\Rightarrow d\left( S, \left( ABCD \right) \right)=d\left( S, MN \right)=\dfrac{2{{S}_{\Delta SMN}}}{MN}$.
Áp dụng công thức Hê-rông ta tính được: ${{S}_{\Delta SMN}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$. Suy ra $d\left( S, \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( S, \left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
A. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{3}$.
B. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
C. $\dfrac{{{a}^{3}}}{6}$.
D. $\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}$.
Ta có: $SM\bot AB, SN\bot CD, AB\text{//}CD$ $\Rightarrow SM, SN\bot AB$ $\Rightarrow AB\bot \left( SMN \right)$
$\Rightarrow \left( SMN \right)\bot \left( ABCD \right);$ $\left( SMN \right)\cap \left( ABCD \right)=MN$ $\Rightarrow d\left( S, \left( ABCD \right) \right)=d\left( S, MN \right)=\dfrac{2{{S}_{\Delta SMN}}}{MN}$.
Áp dụng công thức Hê-rông ta tính được: ${{S}_{\Delta SMN}}=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}$. Suy ra $d\left( S, \left( ABCD \right) \right)=\dfrac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}$.
Vậy ${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}d\left( S, \left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}$.
Đáp án B.