Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $4$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $K$ là trung điểm của $CD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BK$ và $SC$ bằng
A. $\dfrac{8\sqrt{93}}{31}.$
B. $\dfrac{6\sqrt{93}}{31}.$
C. $\dfrac{4\sqrt{93}}{31}.$
D. $\dfrac{2\sqrt{93}}{31}.$
A. $\dfrac{8\sqrt{93}}{31}.$
B. $\dfrac{6\sqrt{93}}{31}.$
C. $\dfrac{4\sqrt{93}}{31}.$
D. $\dfrac{2\sqrt{93}}{31}.$
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, khi đó $SI\bot \left( ABCD \right)$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O\equiv I$ như hình vẽ.
Ta có $I\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;2\sqrt{3} \right);K\left( 4;0;0 \right);C\left( 4;2;0 \right);B\left( 0;2;0 \right)$.
$\overrightarrow{BS}=\left( 0;-2;2\sqrt{3} \right);\overrightarrow{BK}=\left( 4;-2;0 \right);\overrightarrow{SC}=\left( 4;2;-2\sqrt{3} \right)$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{BK};\overrightarrow{SC} \right]=\left( 4\sqrt{3};8\sqrt{3};16 \right)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BK$ và $SC$ bằng
$d\left( BK;SC \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{BS}.\left[ \overrightarrow{BK};\overrightarrow{SC} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BK};\overrightarrow{SC} \right] \right|}=\dfrac{16\sqrt{3}}{4\sqrt{31}}=\dfrac{4\sqrt{93}}{31}.$
Ta có $I\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;2\sqrt{3} \right);K\left( 4;0;0 \right);C\left( 4;2;0 \right);B\left( 0;2;0 \right)$.
$\overrightarrow{BS}=\left( 0;-2;2\sqrt{3} \right);\overrightarrow{BK}=\left( 4;-2;0 \right);\overrightarrow{SC}=\left( 4;2;-2\sqrt{3} \right)$
Suy ra $\left[ \overrightarrow{BK};\overrightarrow{SC} \right]=\left( 4\sqrt{3};8\sqrt{3};16 \right)$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BK$ và $SC$ bằng
$d\left( BK;SC \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{BS}.\left[ \overrightarrow{BK};\overrightarrow{SC} \right] \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BK};\overrightarrow{SC} \right] \right|}=\dfrac{16\sqrt{3}}{4\sqrt{31}}=\dfrac{4\sqrt{93}}{31}.$
Đáp án C.