Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $\left( ABCD \right).$ Góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt đáy bằng ${{60}^{0}}.$ Tính thể tích của khối chóp.
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB\left( 1 \right) \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SB\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là góc $\widehat{SBA}$, kết hợp giả thiết suy ra $\widehat{SBA}={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SAB$ ta có $\tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=2a\sqrt{3}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}.Bh=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{\left( 2a \right)}^{2}}2a\sqrt{3}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
A. $\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
B. ${{a}^{3}}\sqrt{3}.$
C. $6{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
D. $8{{a}^{3}}\sqrt{3}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB\left( 1 \right) \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot SB\left( 2 \right).$
Từ (1) và (2) suy ra góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt đáy $\left( ABCD \right)$ là góc $\widehat{SBA}$, kết hợp giả thiết suy ra $\widehat{SBA}={{60}^{0}}.$
Xét tam giác vuông $SAB$ ta có $\tan {{60}^{0}}=\dfrac{SA}{AB}\Rightarrow SA=AB.\tan {{60}^{0}}=2a\sqrt{3}.$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là $V=\dfrac{1}{3}.Bh=\dfrac{1}{3}{{S}_{ABCD}}.SA=\dfrac{1}{3}{{\left( 2a \right)}^{2}}2a\sqrt{3}=\dfrac{8{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.$
Đáp án A.