Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng...

Phương pháp giải:
- Xác định mặt phẳng $\left(P\right)$ chứa $DE$ và song song với $SC$, khi đó $d(DE;SC)=d(SC;\left(P\right))$.
- Đổi sang $d(A;\left(P\right))$. Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:

Trong $\left(ABCD\right)$ gọi $I=AC\cap DE$, trong $\left(SAC\right)$ kẻ $IG//SC(G\in SA)$, khi đó ta có $DE\subset \left(GDE\right)//SC$.
$\Rightarrow d(SC;DE)=d(SC;\left(GDE\right))=d(C;\left(GDE\right))$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: ${\displaystyle \frac{IC}{IA}}={\displaystyle \frac{EC}{AD}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, do $AC\cap \left(GDE\right)=I$ nên ${\displaystyle \frac{d(C;\left(GDE\right))}{d(A;\left(GDE\right))}}={\displaystyle \frac{IC}{IA}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\Rightarrow d(C;\left(GDE\right))={\displaystyle \frac{1}{2}}d(A;\left(GDE\right))$.
Trong $\left(ABCD\right)$ kẻ $AH\mathrm{\perp }DE(H\in DE)$, trong $\left(GAH\right)$ kẻ $AK\mathrm{\perp }GH(K\in GH)$ ta có:
$\{\begin{array}{l}DE\mathrm{\perp }AH\\ DE\mathrm{\perp }AG\end{array}\Rightarrow DE\mathrm{\perp }\left(AGH\right)\Rightarrow DE\mathrm{\perp }AK$
$\{\begin{array}{l}AK\mathrm{\perp }GH\\ AK\mathrm{\perp }DE\end{array}\Rightarrow AK\mathrm{\perp }\left(GDE\right)\Rightarrow d(A;\left(GDE\right))=AK$
Vì $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left(ABCD\right)$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }(SC;\left(ABCD\right))=\mathrm{\angle }(SC;AC)=\mathrm{\angle }SCA={45}^0$.
$\Rightarrow \mathrm{\Delta }SAC$ vuông cân tại A.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$ nên $AC=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a=SA$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có ${\displaystyle \frac{AG}{AS}}={\displaystyle \frac{AI}{AC}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\Rightarrow AG={\displaystyle \frac{4a}{3}}$.
Ta có: $S_{\mathrm{\Delta }AED}={\displaystyle \frac{1}{2}}d(E;AD).AD={\displaystyle \frac{1}{2}}AB.AD={\displaystyle \frac{1}{2}}a\sqrt{2}.a\sqrt{2}=a^2$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $CDE$ ta có $DE=\sqrt{C{D}^2+C{E}^2}=\sqrt{2a^2+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}}={\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{2}}$.
$\Rightarrow AH={\displaystyle \frac{2S_{AED}}{ED}}={\displaystyle \frac{2a^2}{{\displaystyle \frac{a\sqrt{10}}{2}}}}={\displaystyle \frac{2a\sqrt{10}}{5}}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $GAH$ ta có
AK=AG. AH√AG2+AH2=4a3.2a√105
$AK={\displaystyle \frac{AG.AH}{\sqrt{A{G}^2+A{H}^2}}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4a}{3}}.{\displaystyle \frac{2a\sqrt{10}}{5}}}{\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{4a}{3}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{2a\sqrt{10}}{5}}\right)}^2}}}={\displaystyle \frac{4a\sqrt{19}}{19}}$.
Vậy $d(DE;SC)={\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2a\sqrt{19}}{19}}$.