Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy bằng...

Phương pháp giải:
- Xác định mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $DE$ và song song với $SC$, khi đó $d\left( DE;SC \right)=d\left( SC;\left( P \right) \right)$.
- Đổi sang $d\left( A;\left( P \right) \right)$. Dựng khoảng cách.
- Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Pytago, diện tích … để tính khoảng cách.
Giải chi tiết:

Trong $\left( ABCD \right)$ gọi $I=AC\cap DE$, trong $\left( SAC \right)$ kẻ $IG//SC\left( G\in SA \right)$, khi đó ta có $DE\subset \left( GDE \right)//SC$.
$\Rightarrow d\left( SC;DE \right)=d\left( SC;\left( GDE \right) \right)=d\left( C;\left( GDE \right) \right)$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: $\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{EC}{AD}=\dfrac{1}{2}$, do $AC\cap \left( GDE \right)=I$ nên $\dfrac{d\left( C;\left( GDE \right) \right)}{d\left( A;\left( GDE \right) \right)}=\dfrac{IC}{IA}=\dfrac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( C;\left( GDE \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A;\left( GDE \right) \right)$.
Trong $\left( ABCD \right)$ kẻ $AH\bot DE\left( H\in DE \right)$, trong $\left( GAH \right)$ kẻ $AK\bot GH\left( K\in GH \right)$ ta có:
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
DE\bot AH \\
DE\bot AG \\
\end{array} \right.\Rightarrow DE\bot \left( AGH \right)\Rightarrow DE\bot AK$
$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
AK\bot GH \\
AK\bot DE \\
\end{array} \right.\Rightarrow AK\bot \left( GDE \right)\Rightarrow d\left( A;\left( GDE \right) \right)=AK$
Vì $SA\bot \left( ABCD \right)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $\left( ABCD \right)$
$\Rightarrow \angle \left( SC;\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SC;AC \right)=\angle SCA={{45}^{0}}$.
$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân tại A.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2}$ nên $AC=a\sqrt{2}.\sqrt{2}=2a=SA$.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có $\dfrac{AG}{AS}=\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow AG=\dfrac{4a}{3}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta AED}}=\dfrac{1}{2}d\left( E;AD \right).AD=\dfrac{1}{2}AB.AD=\dfrac{1}{2}a\sqrt{2}.a\sqrt{2}={{a}^{2}}$.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $CDE$ ta có $DE=\sqrt{C{{D}^{2}}+C{{E}^{2}}}=\sqrt{2{{a}^{2}}+\dfrac{{{a}^{2}}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}$.
$\Rightarrow AH=\dfrac{2{{S}_{AED}}}{ED}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{\dfrac{a\sqrt{10}}{2}}=\dfrac{2a\sqrt{10}}{5}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $GAH$ ta có
AK=AG. AH√AG2+AH2=4a3.2a√105
$AK=\dfrac{AG.AH}{\sqrt{A{{G}^{2}}+A{{H}^{2}}}}=\dfrac{\dfrac{4a}{3}.\dfrac{2a\sqrt{10}}{5}}{\sqrt{{{\left( \dfrac{4a}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{2a\sqrt{10}}{5} \right)}^{2}}}}=\dfrac{4a\sqrt{19}}{19}$.
Vậy $d\left( DE;SC \right)=\dfrac{1}{2}=\dfrac{2a\sqrt{19}}{19}$.