Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a, S D = \frac{a \sqrt{17}}{2},$ hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên $(A B C D)$ ...

The Collectors · 30/5/21

Câu hỏi: Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh

a, S D = \frac{a \sqrt{17}}{2},

hình chiếu vuông góc

H

của

S

trên

(A B C D)

là trung điểm của đoạn

A B .

Gọi

K

là trung điểm của đoạn

A D .

Khoảng cách giữa hai đường

H K

và

S D

theo

a

là:
A.

\frac{a \sqrt{3}}{15} .

B.

\frac{a \sqrt{3}}{5} .

C.

\frac{a \sqrt{3}}{25} .

D.

\frac{a \sqrt{3}}{45} .

Ta có

S H ⊥ (A B C D) .

Gọi

O

là tâm hình vuông

A B C D, I

là trung điểm

B O \Rightarrow H I / / A C \Rightarrow H I ⊥ B D .

H I = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{4} .

Δ A B D

vuông tại

A \Rightarrow H D = \sqrt{A H^{2} + A D^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}

.

Δ S H D

vuông tại

H \Rightarrow S H = \sqrt{S D^{2} - H D^{2}} = \sqrt{\frac{17 a^{2}}{4} - \frac{5 a^{2}}{4}} = a \sqrt{3} .

Trong

(S H I),

vẽ

H E ⊥ S I (E \in S I) .

\frac{1}{H E^{2}} = \frac{1}{H I^{2}} + \frac{1}{S H^{2}} = \frac{8}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{25}{3 a^{2}} \Rightarrow H E = \frac{a \sqrt{3}}{5} .

Ta có

{\begin{aligned} B D ⊥ H I \\ B D ⊥ S H \end{aligned} \Rightarrow B D ⊥ (S H I) \Rightarrow B D ⊥ H E .

{\begin{aligned} H E ⊥ S I \\ H E ⊥ B D \end{aligned} \Rightarrow H E ⊥ (S B D) .

Ta có

H K

là đường trung bình

Δ A B D \Rightarrow H K / / B D \Rightarrow H K / / (S B D) .

Do đó

d (K H, B D) = d (K H, (S B D)) = d (H, (S B D)) = H E = \frac{a \sqrt{3}}{5} .

Đáp án B.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SD=a172, hình chiếu vuông góc H của S trên (ABCD)...