Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SD=\dfrac{a\sqrt{17}}{2},$ hình chiếu vuông góc $H$ của $S$ trên $\left( ABCD \right)$...

Ta có $SH\bot \left( ABCD \right).$
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD,I$ là trung điểm $BO\Rightarrow HI//AC\Rightarrow HI\bot BD.$
$HI=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}.$
$\Delta ABD$ vuông tại $A\Rightarrow HD=\sqrt{A{{H}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}$.
$\Delta SHD$ vuông tại $H\Rightarrow SH=\sqrt{S{{D}^{2}}-H{{D}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{17{{a}^{2}}}{4}-\dfrac{5{{a}^{2}}}{4}}=a\sqrt{3}.$
Trong $\left( SHI \right),$ vẽ $HE\bot SI\left( E\in SI \right).$
$\dfrac{1}{H{{E}^{2}}}=\dfrac{1}{H{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}=\dfrac{8}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{3{{a}^{2}}}=\dfrac{25}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HE=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BD\bot HI \\
& BD\bot SH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SHI \right)\Rightarrow BD\bot HE.$
$\left\{ \begin{aligned}
& HE\bot SI \\
& HE\bot BD \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow HE\bot \left( SBD \right).$
Ta có $HK$ là đường trung bình $\Delta ABD\Rightarrow HK//BD\Rightarrow HK//\left( SBD \right).$
Do đó $d\left( KH,BD \right)=d\left( KH,\left( SBD \right) \right)=d\left( H,\left( SBD \right) \right)=HE=\dfrac{a\sqrt{3}}{5}.$