Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\sqrt{7}a.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{14}a}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{14}a}{6}$
C. $\sqrt{14}a$
D. $\dfrac{\sqrt{14}a}{12}$
A. $\dfrac{\sqrt{14}a}{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{14}a}{6}$
C. $\sqrt{14}a$
D. $\dfrac{\sqrt{14}a}{12}$
Cách giải:
Gọi $SA$ là trục $Oz,AD$ là trục $Oy$ và $AB$ là trục $Ox.$
Khi đó ta có tọa độ các điểm: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),D\left( 0;1;0 \right),S\left( 0;0;\sqrt{7} \right),C\left( 1;1;0 \right).$
Do đó: $\overrightarrow{BD}=\left( -1;1;0 \right),\overrightarrow{SC}=\left( 1;1;-\sqrt{7} \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;0 \right).$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD,SC$ trong không gian là:
$d\left( BD,SC \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{SC} \right].\overrightarrow{BC} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{SC} \right] \right|}=\dfrac{a\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{6}.$
Gọi $SA$ là trục $Oz,AD$ là trục $Oy$ và $AB$ là trục $Ox.$
Khi đó ta có tọa độ các điểm: $A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),D\left( 0;1;0 \right),S\left( 0;0;\sqrt{7} \right),C\left( 1;1;0 \right).$
Do đó: $\overrightarrow{BD}=\left( -1;1;0 \right),\overrightarrow{SC}=\left( 1;1;-\sqrt{7} \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;0 \right).$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD,SC$ trong không gian là:
$d\left( BD,SC \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{SC} \right].\overrightarrow{BC} \right|}{\left| \left[ \overrightarrow{BD},\overrightarrow{SC} \right] \right|}=\dfrac{a\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}=\dfrac{a\sqrt{14}}{6}.$
Đáp án B.