Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và $SA=\sqrt{3}a.$ Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABCD \right).$ Giá trị $\tan \varphi $ bằng:
A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
A. $\sqrt{3}$
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
D. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Cách giải:
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& SB\subset \left( SBC \right),SB\bot BC \\
& BC\subset \left( ABCD \right),AB\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SB;AB \right)=\angle SBA.$
Xét tam giác vuông $SAB$ ta có $\tan \angle SBA=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle SBA={{60}^{0}}.$
Vậy $\tan \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\sqrt{3}.$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB.$
$\left\{ \begin{aligned}
& \left( SBC \right)\cap \left( ABCD \right)=BC \\
& SB\subset \left( SBC \right),SB\bot BC \\
& BC\subset \left( ABCD \right),AB\bot BC \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\angle \left( SB;AB \right)=\angle SBA.$
Xét tam giác vuông $SAB$ ta có $\tan \angle SBA=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}a}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle SBA={{60}^{0}}.$
Vậy $\tan \angle \left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)=\sqrt{3}.$
Đáp án A.