Câu hỏi: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a,SA$ vuông góc với mặt đáy $\left( ABCD \right)$ và góc giữa $SC$ với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ bằng ${{30}^{0}}.$ Gọi $M$ là điểm di động trên cạnh $CD$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên đường thẳng $BM.$ Khi $M$ di động trên $CD$ thì thể tích khối chóp $S.ABH$ lớn nhất là
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{15}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}.$
Theo bài $SA\bot \left( ABH \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABH}}.$ Nên ${{V}_{S.ABH}}$ lớn nhất khi ${{S}_{ABH}}$ lớn nhất.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}=\widehat{CSB}={{30}^{0}}$
Xét $\Delta SBC$ vuông tại $B,$ ta có $\tan \widehat{CBS}=\tan {{30}^{0}}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=a\sqrt{3}.$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A,$ ta có $S{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}.$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot SH \\
& BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BM\bot AH\Rightarrow BH\bot AH $ nên $ \Delta ABH $ vuông tại $ H$.
Gọi $x,y$ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác $\Delta ABH$ có cạnh huyền là $a,0<x<a$ và $0<y<a.$ Diện tích $\Delta ABH$ là $S=\dfrac{1}{2}xy.$ Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}.$
${{S}_{ABH}}$ lớn nhất khi và chỉ khi ${{x}^{2}}{{y}^{2}}={{x}^{2}}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Suy ra ${{S}_{ABH}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ lớn nhất khi $x=y=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$ Vậy ${{V}_{S.ABH}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$ lớn nhất.
A. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6}.$
B. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}.$
C. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{15}.$
D. $V=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{8}.$
Theo bài $SA\bot \left( ABH \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABH}}=\dfrac{1}{3}SA.{{S}_{ABH}}.$ Nên ${{V}_{S.ABH}}$ lớn nhất khi ${{S}_{ABH}}$ lớn nhất.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& BC\bot AB \\
& BC\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \widehat{\left( SC,\left( SAB \right) \right)}=\widehat{CSB}={{30}^{0}}$
Xét $\Delta SBC$ vuông tại $B,$ ta có $\tan \widehat{CBS}=\tan {{30}^{0}}=\dfrac{BC}{SB}\Rightarrow SB=a\sqrt{3}.$
Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A,$ ta có $S{{B}^{2}}=S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}\Rightarrow SA=a\sqrt{2}.$
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& BM\bot SH \\
& BM\bot SA \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow BM\bot \left( SAH \right)\Rightarrow BM\bot AH\Rightarrow BH\bot AH $ nên $ \Delta ABH $ vuông tại $ H$.
Gọi $x,y$ là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác $\Delta ABH$ có cạnh huyền là $a,0<x<a$ và $0<y<a.$ Diện tích $\Delta ABH$ là $S=\dfrac{1}{2}xy.$ Ta có ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}.$
${{S}_{ABH}}$ lớn nhất khi và chỉ khi ${{x}^{2}}{{y}^{2}}={{x}^{2}}\left( {{a}^{2}}-{{x}^{2}} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.
Suy ra ${{S}_{ABH}}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$ lớn nhất khi $x=y=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$ Vậy ${{V}_{S.ABH}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{12}$ lớn nhất.
Đáp án B.