Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$. Tính khoảng cách từ $G$ đến mặt phẳng $\left( SCD \right)$.
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{21}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Ta có $d\left( G,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{GS}{HS}d\left( H,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}d\left( H,\left( SCD \right) \right)$.
Trong $\left( ABCD \right)$, dựng $HK\bot CD$. Do đó $CD\bot \left( SHK \right)$.
Trong $\left( SHK \right)$, dựng $HM\bot SK$, suy ra $CD\bot HM$.
Do đó $HM\bot \left( SCD \right)$, nên $d\left( G,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}HM$.
Ta có $SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $HK=BC=a$.
Ta có $\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow HM=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$. Vậy $d\left( G,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.$$
A. $\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.
B. $\dfrac{a\sqrt{3}}{7}$.
C. $\dfrac{a\sqrt{21}}{21}$.
D. $\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$.
Trong $\left( ABCD \right)$, dựng $HK\bot CD$. Do đó $CD\bot \left( SHK \right)$.
Trong $\left( SHK \right)$, dựng $HM\bot SK$, suy ra $CD\bot HM$.
Do đó $HM\bot \left( SCD \right)$, nên $d\left( G,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2}{3}HM$.
Ta có $SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, $HK=BC=a$.
Ta có $\dfrac{1}{H{{M}^{2}}}=\dfrac{1}{S{{H}^{2}}}+\dfrac{1}{H{{K}^{2}}}\Rightarrow HM=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$. Vậy $d\left( G,\left( SCD \right) \right)=\dfrac{2a\sqrt{21}}{21}$.$$
Đáp án A.