Google
Câu hỏi: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $\left(ABCD \right)$ là trung điểm của cạnh $AB$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $SC$ bằng
A. $a$.
B. $\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
C. $\frac{a\sqrt{5}}{10}$.
D. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$
Gọi $K$ là trung điểm của $SC$, $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ suy ra $MKHA$ là hình bình hành.
$AM \text{//} HK\Rightarrow AM \text{//} \left( SHK \right)$ $\Rightarrow d\left( AM,SC \right)=d\left( AM,\left( SHC \right) \right)=d\left( A,\left( SHC \right) \right)=d\left( B,\left( SHC \right) \right)$.
Hạ $BI\bot CH$ mà $SH\bot BI\Rightarrow BI\bot \left( SHC \right)$ nên $d\left( AM,SC \right)=BI$.
Xét tam giác $BHC$ vuông tại $B$ có $BI$ là đường cao: $BI=\frac{BH.BC}{\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\frac{\frac{a}{2}.a}{\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $SC$ bằng $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
A. $a$.
B. $\frac{a\sqrt{2}}{4}$.
C. $\frac{a\sqrt{5}}{10}$.
D. $\frac{a\sqrt{5}}{5}$
Gọi $K$ là trung điểm của $SC$, $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ suy ra $MKHA$ là hình bình hành.
$AM \text{//} HK\Rightarrow AM \text{//} \left( SHK \right)$ $\Rightarrow d\left( AM,SC \right)=d\left( AM,\left( SHC \right) \right)=d\left( A,\left( SHC \right) \right)=d\left( B,\left( SHC \right) \right)$.
Hạ $BI\bot CH$ mà $SH\bot BI\Rightarrow BI\bot \left( SHC \right)$ nên $d\left( AM,SC \right)=BI$.
Xét tam giác $BHC$ vuông tại $B$ có $BI$ là đường cao: $BI=\frac{BH.BC}{\sqrt{B{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}}=\frac{\frac{a}{2}.a}{\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $SC$ bằng $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
Đáp án D.